|
г = г(!)
еки унинг координаталарининг вакт бўйича ўзгаришини акс эттир^вчи
х = х(1), у = у( ( ) , г = г(()
ва (
йГ
Охирги формулага асосланиб (2 6) ифодани куйидагича ёзамиз:
(2 .1 I )
47
www.ziyouz.com kutubxonasi
Бу иккинчи тартибли дифференциал тенгламадир. Кўриниб турибдики, (2.8) ва
(2.11) формулалар моддий нуктага таъсир этувчи кучни ва мазкур куч таьсирида
унинг ҳолати ҳамда фазодаги вазиятининг вактга боғлик равишда ўзгариши
орасидаги богланишни ифодалайди. Бошланғич пайтда ҳаракат килаётган моддий
нуктанинг ҳолати (координаталари ва тезлиги) маълум бўлса, кейинги исталган
пайтдаги унинг ҳолатини аниклаш (2.8) ва (2.11) тенгламаларни интеграллаш йўли
билан амалга оширилади.
Интеграллашни соддалаштириш максадида куйидаги хусусий ҳолни караб
чикамиз: ўзгармас куч (Ғ = сопз1) таъсирида моддий нукта радиус-вектор йўналиши-
да тўғри чизикли ҳаракат килаётган бўлсин ва бошланғич (< = 0) пайтда г(0) = ғо ва
V (0) = о 0 бўлсин. Яъни бошланғич пайтда моддий нукта санок бошидан г0 масофада
бўлиб, унинг бошланғич тезлиги (а0) радиус-вектор билан бир томонга йўналган
бўлсин. Бу шартлар бошланғич шартлар дейилади.
(2.8) тенгликни қуйидагича ёзамиз:
- -
- 7
тйа = ҒЛ1 ёки йу = — <11.
т
Бу тенгликни интеграллаб моддий нуктанинг исталган I вактдаги тезлиги учун
куйидаги ифодага эга бўламиз:
,
~Ғ
а(() = — / + сопз1.
т
Бошланғич пайтда, яъни
1
=
0
бўлганда о = а0 эканлигини назарда тутсак, охирги
формуладан сопз1 = о0 эканлиги келиб чикади. Шундай килиб:
5<0 = 50+ - ^ /
(2.12)
кўринишдаги ечимга эга бўламиз. Маълумки бу формула бошланғич тезлиги у0 бўлган
текис ўзгарувчан ҳаракатни ифодалайди ва исталган I вактдаги тезликни топишда
кўлланилади. Энди, д(I) =- — эканлигини назарда тутиб, (2.12) формулани куйида-
а(
гича ёзиш мумкин:
=
ёки с1г=дп (11+
<11
0
т
°
т
Охирги тенгликни интеграллаш натижасида
7(1) = о 0! + - — <2 + сопз!
ш
га эга бўламиз ва ниҳоят, 1 = 0 бўлганда интеграллаш доимийси сопз1 = г0 эканлигини
ҳисобга олиб, бу тенгликни куйидагича ёзамиз:
7 ( 1 ) = 7 0 + д0 ( 1 ) + - 1 - р .
(2.13)
2т
* = 0 бўлганда санок бошини Го = 0 деб қабул қилсак, охирги тенглик соддала-
шади:
Г ( 0 = 5 ( 0 + - / - / * • '
-
(2. 14)
2
т
(2.13) ва (2.14) формулалар тўғри чизикли текис ўзгарувчан ҳаракатда йўл
формуласини ифодалайди. Бу формулалар массаси т ва бошланғич тезлиги 5(Гбўлган
моддий нуктанинг ўзгармас ташки куч таъсирида бўлаётган ҳаракат конунини
ифодалайди
Иккинчи мисол тариқасида Ер сиртидан уфкка (горизонтга) нисбатан а бурчак
остида аотезлик билан отилган т массали моддий нукта (снаряд)нинг факат оғирлик
48
www.ziyouz.com kutubxonasi
кучи таъсиридаги ҳаракатини караб
чикайлдк (2.2-расм).
Моддий нуктага
Ғ — — Р — —т£ оғмрлик кучи таъсир
этади (оо ва д векторларнинг йўна-
лишлари бир-бирига тескари бўлгани
туфайли
манфий
ишора
кўйилди).
(2.12) ва (2.14) формулалардан Ғ куч
ўрнига — тЦ ни кўйсак, улар мос
равишда
о ( 0 = 5 о — 81,
г(1)=до!—^ё12
тарзда ёзилади. Бу катталикларни уларнинг координата ўкларидаги проекциялари
оркали ифодаласак, яъни
цл = ц0соза ва ц ^ о о з т а
эканини ҳисобга олсак, улар мос равишда
ц, = Уо соза, о,, = у051па
— §1,
У г
=
0;
(2.15)
дг=Уо/соза, |/=Уо/51па—^-£/2,
2
= 0
(2.16)
кўринишга келади. Бу формулалар моддий нукта ҳаракати конунининг координата
ўқларидаги проекцияларини ифодалайди. Моддий нуктанинг ҳаракат траекториясини
топиш учун (2.16) ифоданинг биринчи тенгламасидан топилган
Уд соза
ифодани шу тенгламанинг иккинчисига кўямиз, яъни харакат конунидан вактни
чикарамиз ва куйидагига эга бўламиз:
У = х*«*-----(2-17)
2о0соз а
Бу парабола тенгламасидир. Демак, бу ҳолда моддий нукта ХОУ текисликда парабола
шаклидаги траектория бўйича ҳаракатланади. Келтирилган мисолдан кўринадики,
бошланғич шартларнинг кийматларига караб моддий нукта ҳаракати бир-биридан
анча фарк килиши мумкин. Хусусан, бошланғич тезлик векторининг уфкка (гори-
зонтга) нисбатан ҳар хил бурчак ташкил килиши турли натижаларга олиб келади.
Масалан, бурчак 90°га тенг бўлганда моддий нуктанинг траекторияси юкорида
келтирилган параболадан тубдан фарк килиб, уфкка тик йўналган тўғри чизикдан
иборат бўлади.
Шундай килиб, моддий нуктанинг ихтиёрий вактдаги 7(1) ҳолати унинг бошланғич
вактдаги ҳолатини анивдовчи радиус-вектори г0 ва бошланғич тезлиги ц0 маълум
бўлгандагина анивданиши мумкин, яъни бошланғич шартларни ифодаловчи г0 = г0(()
ва ц0 = Цо(/) катталиклар берилган бўлиши шарт. Бошланғич шартларнинг муҳимлиги
ана шундадир. Моддий нуктанинг бошланғич пайтдаги ҳаракат ҳолатининг берилиши
унинг кейинги пайтлардаги ҳаракат ҳолатларини тўлик аниклашга имкон беради.
Моддий нуктанинг ҳаракат конунига биноан унга таъсир этаётган кучларни
аниклаш муаммоси моддий нукта ҳаракатини ифодаловчи тенгламадан ҳосила олишга
келтирилади. Бошкача айтганда, агар моддий нуктанинг 7(1) радиус-вектори ёки х(1),
у(1), г(1) координаталарининг вақт бўйича ўзгаришини ифодаловчи тенгламалар
маълум бўлса, улардан вакт бўйича иккинчи тартибли ҳосила олиш билан моддий
нуктага таъсир этувчи куч осонгина топилади. Натижада таъсир этувчи куч учун
4 — 4 6 7
4 9
www.ziyouz.com kutubxonasi
еки
/ \ = т —
йГ
,2
’
,!?Ж
Ш2 ’
а г
кўринишдаги ифодага эга (пламиз Равшанкн, бу ерда
Ғ „ Ғ,„ Ғ г
лар моддий нуктага
таьсир этувчи натижавий
Ғ
кучнинг коорднната ўкларидаги рроекцияларини нфода-
лайди, яьни.
Ғ = Ғ х
7 +
ғ ч
7 +
Ғ гк
2.6- §. НЬЮТОННИНГ УЧИНЧИ ҚОНУНИ
Ньютоннинг иккинчи конунида битта жисм (моддий нукта)нинг
ҳаракати ҳакида гап боради ва бу конунга асосан жисмнинг олган
тезланнши унга таъсир этувчи ташки кучга мутаносибдир. Ташки куч
дейилганда муайян жисмга бошка бирор жисмнинг таъсири
тушунилади. Тажрибаларнинг кўрсатишича, муайян жисмнинг атган
тезланиши икки жисмнинг ўзаро таъсири натижасидир; бошкача
айтганда, бирор А жисм В жисм таъсирида кандайдир тезланишга
эршиган бўлса, В жисм ҳам ўз навбатида муайян тезланиш олади —
ўзининг таъсиргача бўлган тезлигини ўзгартиради. Демак, А жисм-
нинг олган тезланиши иккита жисмнинг ўзаро таъсирлашиши
натижасидир.
Маълумки, механикада ҳар кандай таъсир куч оркали ифодалана-
ди. Шунинг учун В жисм бирор А жисмга кандайдир куч билан таъсир
килса, А жисм В жисмга муайян куч билан таъсир этади.
Do'stlaringiz bilan baham: |
