|
[(у) функциянинг ўртача киймати ҳакида фикр юритиш мумкин бўлган д а р а ж а д а
катта бўлса 2 [(у)Ау, йиғинди муайян физикавий мазмунга эга бўлади. Шунга кўра
'
1=
1
физикада интеграл йиғиндининг лимити сифатида эмас, балки етарли дараж ада кичик
бўлган жуда кўп кўшилувчиларнинг йиғиндиси сифатида аникланади, яъни:
\ [ ( у ) й у = 2 [(у,)Ау,.
а
1='
Хусусан, агар [(у) функция тезликнинг вакгга боғликлигини ифодаласа, [(у) =
1
’(
1
)
бўлади; у холда таърифга асосан ДI вакт оралиғида босиб ўтилган йўл
Аз, = ц,А/,
формула билан аникланади Агар бирор етарли дараж ада катта вакт оралиғида босиб
ўтилган йўлни ҳисобламокчи бўлсак, табиий равишда, элементар вактлар ораликлари-
да босиб ўтилган йўлларнинг йиғиндисини олишимиз керак, яъни *
*
5 = 25, =
2
о
,Д/(.
—
. 1
1
П
* Бу ва бундан кейинги ўринларда йиғинди X кўринишда берилган бўлса, X
I
/ =
1
мазмунида тушунилсин.
35
www.ziyouz.com kutubxonasi
Умумий ҳолда тезлик вакт давомида ўзгариб борганлигидан, ҳисоблаш тўғри бўлиши
учун Д/, вакт оралиғини шундай танлашимиз керакки, бу ораликда тезлик деярли
ўзгармай колсин. Бу ҳолда
12
'
'■
тенглик ўринли бўлади. Демак,
Ч
8 = ^ о ( 1) И.
.
(|
Физикада интеграллаш амалидан физикавий катталикларнинг ўртача кийматларини
ҳисоблашда ҳам фойдаланилади. Ҳакикатан ҳам маълумки, ўртача тезлик юкорида
кўрсатилгандек
5
формула билан ҳисобланади. Аммо 5 нинг ифодасини интеграл ёрдамида ёзсак, бу
формула
1
‘2
° , = Т = г \ 0{1),и
Н
‘1 /
м
кўринишга ўтади. Ихтиёрий }{у) физикавий катталикнинг {у
2
— у,) ораликдаги ўртача
киймати / . = ---------
У
У2~У\
5
[{у)с1у формула билан ҳисобланади
Масалан, / = р, у = У
бўлсин. У ҳолда
Р у
=
- г
7
\ р { ^ ) с ! У
бўлади.
" о
’
Шундай килиб, математика амалларини физика масалаларига расман кўллашда
формулаларнинг шакли ўзгармаса ҳам, уларнинг мазмуни маълум даражада
ўзгаради. Бундай ўзгаришлар физикавий масалани ечишни кулай кўринишга
келтириш учун сунъий равишда эмас, балки физика конунлари ва ҳодисаларининг
моҳиятидан келиб чикиб, табиий равишда амалга оширилади.
1.10- §. ЭРКИНЛИК ДАРАЖАЛАРИ СОНИ. УМУМЛАШГАН
КООРДИНАТАЛАР
Моддий нуқта (жисм)ларнинг ҳаракатини ва исталган пайтда
уларнинг фазодаги вазиятини тавсифлашда эркинлик даражалари
сони деган тушунча киритилади. Моддий нуктанинг фазодаги
ҳолатини тўлиқ аниқлашга имкон берувчи бир-бирига боғлик
бўлмаган (мустақил) катталиклар сони унинг эркинлик даражалари
сони дейилади.
Қуйидаги мисоллар эркинлик даражалари сонининг моҳиятини
очишга имкон беради: моддий нуқтанинг фазодаги вазияти унинг
учта координатаси (д:, у, г) оркали аниқланиши мумкин. Демак,
моддий нуқтанинг эркинлик даражалари сони 3 га тенг. Муайян
шароитда моддий нуктанинг кўчиши чекланган бўлиши ҳам мумкин.
Бильярд шарининг ҳаракатини олиб қарасак, у фақат текисликда
ҳаракат килади ва унинг исталган пайтдаги вазияти иккита
36
www.ziyouz.com kutubxonasi
катталик — х, у координаталар орқали ифодаланади (учта — х, у, г
координатадан фақат
2
таси х ва у мустақилдир), яъни бу шарнинг
эркинлик даражалари сони 2 га тенг. Жисмнинг олдиндан берилган
траектория бўйлаб ҳаракатини олиб қарасак, унинг исталган
пайтдаги вазияти шу траектория бўйлаб ўтилган йўл узунлиги билан
аниқланади (масалан, поезд ёки трамвайнинг ҳаракати); бу ҳолда
эркинлик даражалари сони 1 га тенг. Моддий нуқтанинг фазодаги
ҳаракатини чекловчи воситалар боғловчилар деб аталади.
Умумий ҳолда N та моддий нуқтадан иборат тизимни олиб
қарайлик. Бу моддий нуқталар бир-бирига нисбатан ихтиёрий
йўналишда кўча олсалар бундай тизимнинг вазиятини аниқлаш
учун ЗМ та координаталар (Х[, х2,..., х„, у х, у2,..., у„, г,, г2, ..., г„)
ни билиш керак бўлади, яъни унинг эркинлик даражалари сони З
у
У га
тенгдир. N чексиз катта сон билан ифодаланса тизимнинг вазиятини
координаталар воситасида чекли равишда аниқлаб бўлмайди.
Бундан ташқари, тизимнинг вазиятини координаталар орқали
ифодалаш ҳамма вақт ҳам қулай бўлавермайди. Лекин кўпчилик
ҳолларда тизимнинг фазодаги вазиятини бир-бирига боғлиқ бўлма-
ган чекли катталиклар ёрдамида аниқлаш мумкин. Бунинг сабаби
(юқоридаги мисолларда кўрганимиз каби)
шундаки,
ҳаракат
эркинлиги чекланганда эркинлик даражаларининг сони камаяди ва
тизимдаги барча моддий нуқталарнинг вазиятини аниқлаш учун
камроқ координаталарни (ёки катталикларни) билиш етарли бўлади.
Масалан, тизимдаги N та моддий нуқтанинг Қ таси ўзаро бир-бири
билан боғланишда бўлса, бундай тизимнинг эркинлик даражалари
сони К тага камаяди ва 5 = ЗМ — Қ бўлади. Бундай координаталар
ўрнида исталган ўлчамга эга бўлган ва мақсадга мувофиқ равишда
танланган катталиклар қўлланиши учун «умумлашган координата-
лар» деган тушунча киритилади. Тизимнинг фазодаги вазиятини
аниқлайдиган ва мақсадга мувофиқ ра-
вишда танлаб олинган, бир-бирига боғлиқ
бўлмаган катталиклар тизимнинг умум-
лашган координаталари дейилади. Умум-
лашган координаталар лан белгиланади.
Эркинлик даражалари сони 5 = З
у
У — Қ
бўлган тизим (система) нинг вазияти 5 та
умумлашган координаталар орқали ифо-
даланади.
Умумлашган координаталар
сифатида ихтиёрий физикавий катталик-
лар олиниши мумкин (кесма узунлиги, ёй
узунлиги, оғиш бурчаги, юзанинг сатҳи ва
ҳоказолар). Масалан, ясси математикавий
тебрангич (маятник, бир текисликда тебра-
нувчи тебрангич)нинг ихтиёрий пайтдаги
вазиятини (1.19- расм) битта умумлашган
координата орқали бериш мумкин. Бу ерда
XV текислик ва ипнинг узунлиги (/) ҳара-
1.19-р а с м
37
www.ziyouz.com kutubxonasi
катми чекловчи воситалардир.
<7
сифатида бурилнш бурчаги ёки ёй
узунлиги ММ = 5 ёхуд ОУИУУОга тенг юза (а) атиниши мумкин. Ҳар
ҳолда тебрангичнинг мусбат ва манфий (ўнг ва чап) томонга
четланиши кўрсатилиши керак, акс ҳолда
<7
катталик бир маъноли
бўлмай колади.
.
Умумлашган координаталарнинг вакт бўйича ҳосилалари —
..,чизикли катталик бўлса, ў — чизикли тезлик, бўлса, Мутлак каттик жисмнинг фазодаги вазиятини тавсифлаш учун
унинг бир тўғри чизиқда ётмаган учта нуктасининг вазиятини
аниклаш кифоя. Бу нукталарни фикран А, В ва С деб белгиласак,
уларнинг исталган пайтдаги вазиятлари 9 та (*,, гА, хн, ун, гн,
хг, у Г, г с)
координаталар оркали берилади. Лекин нукталар
орасидаги мос равишда олинган АВ, ВС ва АС кесмаларнинг
узунликлари ўзгармасдир. Яъни А, В ва С нукталарнинг бир-бирига
нисбатан ҳаракатини чекловчи боғланишлар кўйилган АВ, ВС ва АС
кесмалардан иборат боғланишлар сони 3 га тенг бўлиб, ҳаракатлана-
ётган каттик жисмнинг эркинлик даражалари сонини учтага
камайтиради. Демак, мутлак каттик жисмнинг эркинлик даражалари
сони
6
га тенг.
II Б ОБ
Do'stlaringiz bilan baham: |
