Fizika” fani bo’yicha

4. Umov vektori.

Siljish maksimal qiymatga (ξ_maks=+A) erishgan nuqtalarni to’lqin do’ngliklari deb, minimal qiymatga (ξ_min=- A) erishgan nuqtalarni esa to’lqin chuqurliklari deb ataladi. Ikki qo’shni chuqurlik (yoki do’nglik) orasidagi masofa to’lqin uzunligi (λ) deb nom olgan. To’lqin uzunligini bir xil fazada tebranayotgan ikkita eng yaqin nuqtalar orasidagi masofa tarzida ham aniqlash mumkin, chunki bu nuqtalarning tebranish fazalari 2π ga farqlanadi (ma’lumki, argumenti 2π ga o’zgarganda kosinus yana dastlabki qiymatini tiklaydi). Demak, bitta davr, ya’ni t vaqt davomida u tezlik bilan tarqalayotgan to’lqin bosib o’tgan masofa mazkur to’lqinning uzunligidir:

λ = u T (36)

Bu ifoda yordamida (1) tenglamani o’zgartirib yozishimiz mumkin:

ξ = Acos (ωt – ω(x/u)) = Acos (ωt – (2π /T)(x/u)) = Acos (ωt – (2π /λ)x)

Mazkur tenglamadagi 2π/λ ni odatda k harfi bilan belgilanadi va to’lqin son deb ataladi. U 2π metr uzunlikdagi kesimda joylashadigan to’lqin uzunliklarining sonini ifodalaydi. Natijada yuguruvchi to’lqin tenglamasi

ξ = Acos (ωt – kx ) va ξ = Acos (ωt +kx ) (37)

ko’rinishga keladi. Ikkinchi tenglama qarama-qarshi yo’nalishda (ya’ni x ning kamayish tomoniga qarab) tarqalayotgan to’lqin uchun o’rinli. Biroq (37) ifoda yassi yuguruvchi to’lqin, yani fronti yassi tekislikdan iborat bo’lgan yuguruvchi to’lqin uchun chiqarilganligini qayd qilaylik. Agar muhitda tarqalayotgan to’lqin sferik bo’lsa, muhit zarralarining tebranish amplitudalari zarraning tebranish manbaidan uzoqligi (r) ga teskari proporsional ravishda kamayib boradi. Binobarin, sferik yuguruvchi to’lqin tenglamasi

ξ =(A/ r) cos (ωt – kr) (38)

ko’rinishda yoziladi.

(35) dan foydalanib muhitda to’lqin tarqalishini ifodalaydigan differensial tenglamani hosil qilish mumkin. Buning uchun (35) dan t va x bo’yicha ikkinchi tartibli xususiy hosilalar olaylik:

²/t² = /t(/t)= /t(-Asin(t-x/u))=-A²cos(t-x/u);

²/x² = /x(/x)= /x((-A/u)sin(t-x/u))=-A² /u²cos(t-x/u).

Bu ifodalarni taqqoslash natijasida quydagi munosabatni yoza olamiz:

²/x² = (1/u²)(²/²t)

Mazkur munosabat ξ ning qiymati y va z ga bog’liq bo’lmagan holda to’lqin protsessining muhitda tarqalishini aks ettiradi. Umumiy holda, yani ξ= ξ (x, y, z, t) bo’lganda bu tenglama quydagi ko’rinishga keladi:

²/x² + ²/y² + ²/z² = (1/u²)(²/²t) (39)

To’lqin harakatining differensial tenglamasi yoki oddiygina qilib to’lqin tenglama deb yuritiladigan mazkur differensial tenglama eng umumiy holdagi to’lqin protsess tarqalishini ifodalaydi.