Fibonachchi sonlari. Pifagor sonlari

a² + b² =c² . (1)
Yani ABC to’g’ri burchakli uchburchak katetlari kvadratlarining yig’indisi unung gipotenuzasining kvadratiga teng.
Agar (1) tenglikda a, b va c sonlar butun sonlar bo’lsa u holda a, b, c uchlikka Pifagor sonlari deb ataladi .
Manbalarda Pifagor sonlarini topishning quyidagi qoidasi berilgan
a=p²-q², b=2pq, c=p²+q² , p , q (2)
Bu yerda = bilan butun sonlar to’plami belgilangan.
1-teorema. Agar p, q, va r lar butun sonlar bo’lsa, u holda
a₁ =(p²-q²)((2pqr)²-(p²+q²)²)= a((2pqr)²-(p²+q²)²)= a((br)²-c²) (3)
b₁ =2pq((2pqr)²-(p²+q²)²(2r-1)) =b((2pqr)²-(p²+q²)²(2r-1)) = b((br)²-c²(2r-1))
c₁ =(p²+q²)((p²+q²)²+(r²-2r)(2pq)²)=c((p²+q²)²+(r²-2r)(2pq)²)= c(c²+(r²-2r)b²)


a₁ = a((br)²-c²), b₁ = b((br)²-c²(2r-1)), c₁ = c(c²+(r²-2r)b²) (3)

lar Pifagor sonlari bo’ladi.

Isbot. Murakkab bo’lmagan hisoblashlar ko’rsatadiki

tenglik barcha butun p, q va r sonlari uchun orinli bo’ladi.


Izoh. (2) formula cheksiz ko’p pifagor uchliklarini aniqlab beradi lekin barcha Pifagor uchliklarini (2) formula yordamida aniqlab bo’lmas ekan. Bunga quyidagi 44, 117, 125 Pifagor uchliklarida ishonch hosil qilish mumkin.Bu Pifagor uchligini (3) va deb hosil qilish mumkin, ammo hech bir butun p va q larda 44, 117, 125 Pifagor uchligini (2) formula hosil qilib b’lmaydi.
2-teorema. Agar a, b, va c lar Pifagor sonlari bo’lsa, u holda ixtiyoriy m va n butun sonlar uchun quyidagi tenglik o’rinli
a²(b²cm²- c³n²)² + b² (2ac²mn)² =c² (ab²m²+ ac²n²)². (3)
Isbot. (3) tenglik chap tomonidagi birinchi qavs kvadratini ochamiz
a²(b⁴c² m⁴-2 b²m² c⁴n²+ c⁶n⁴).
(3) tenglik o’ng tomonidagi qavs kvadratini ochamiz
c²(a²b⁴m⁴+2a² b²m² c²n²+a²c⁴n⁴).
Hosil bo’lgan bu ifodalarni (3) tenglikka qo’yamiz:
a²b⁴c²m⁴-2a² b² c⁴ m² n²+a²c⁶n⁴+ 4a² b² c⁴m² n²= a² b⁴c²m⁴+2a² b² c⁴m² n²+a²c⁶n⁴.
Chap tomondagi o’xshash -2a² b² c⁴ m² n² va 4a² b² c⁴m² n² hadlqrni ixchamlashtirib, quyidagigaga kelamiz:
a²b⁴c²m⁴+2a² b² c⁴ m² n²+a²c⁶n⁴= a² b⁴c²m⁴+2a² b² c⁴m² n²+a²c⁶n⁴.
Bu ayniyatdan 2- teoremaning isboti keli chiqadi.
1-natija. Agar a, b, va c lar Pifagor sonlari bo’lsa, u holda ixtiyoriy m va n
butun sonlar uchun
a(b²cm²- c³n²) , b(2ac²mn) va c(ab²m²+ ac²n²) lar Pifagor sonlari bo’ladi.
2-natija. Agar a₁, b₁, va c₁ lar Pifagor sonlari bo’lsa, u yolda ixtiyoriy
P, q lar uchun
a₂= a₁ (b₁²c₁m₁ ²- c₁³n₁²) , b₂= b₁ (2a₁c₁²m₁n₁) va c₂₌ c₁(a₁b₁²m₁²+ a₁c₁²n₁²) lar pifagor sonlari bo’ladi.
(n-1)(c+a)²+(b+(n-1)(c+a))²+( )²=
=( )²
qoida o’rinli bo’ladi.
Isbot: (n-1)(c+a)²+(b+(n-1)(c+a))²+( )²=
=( )²
(n-1)(c+a)² +b²+2(n-1)b(c+a)+(n-1)²(c+a)²+n(n-1)(c+a)(-a+(n-1)b)+(-a+(n-1)b)²=
=n(n-1)(c+a)(c+(n-1)b)+(c+(n-1)b)²
(n-1)(c+a)² +b²+2(n-1)b(c+a)+(n-1)²(c+a)² -a n(n-1)(c+a)- c n(n-1)(c+a)=
=c²+2cb(n-1)+(n-1)²b²-a²+2ab(n-1)-(n-1)²b²
(n-1)(c+a)² +b²+2(n-1)b(c+a)+(n-1)²(c+a)² - n(n-1)(c+a)²=
=c²-a²+2cb(n-1)+2ab(n-1)
(n-1+(n-1)²-n(n-1))(c+a)²+ b²+2(n-1)b(c+a)=c² - a²+ 2(n-1)b(c+a)
Ixchamlangandan so’ng
a² + b² =c² Teorema isbotlandi
n ning turli qiymatlari uchun (mukammal kvadratlar haqidagi) yuqoridagi teoremadan cheksiz ko’p formulalarni olishimiz mumkin.
n=1 uchun, a²+b²=c² Pifagor teoremasi.
n=2 uchun, (c+a)²+(c+b)²+(a+b+c)²=(2c+a+b)²
n=3 uchun, (c+a)²+(c+a)²+(b+2a+2c)²+(3c+2a+2b)²=(4c+3a+2b)²
kabi cheksiz ko’p formulalarga ega bo’lamiz, keling mavzuni yo’ritish osonroq b’lishini inobatga olib, ma’lum bir qismini jadvalga ifodalab ko’ramiz:
(1-jadval)

n	(n-1)(c+a)^2+(b+(n-1)(c+a))^2+( )^2= =( )^2
1	a^2+b^2=c^2
2	(c+a)^2+(b+a+ c)^2+(c+b)^2 =(2c+a+b)^2
3	(c+a)^2+(c+a)^2+(b+2a+2c)^2+(3c+2a+2b)^2=(4c+3a+2b)^2
4	(c+a)^2+(c+a)^2+(c+a)^2+(b+3a+3c)^2+(6c+5a+3b)^2=(7c+6a+3b)^2
5	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+4a+4c)^2+(10c+9a+4b)^2=(11c+10a+4b)^2
6	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+5a+5c)^2+(15c+14a+5b)^2=(16c+15a+5b)^2
7	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+6a+6c)^2+(21c+20a+6b)^2= =(22c+21a+6b)^2
8	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+7a+7c)^2+(28c+27a+7b)^2= =(29c+28a+7b)^2
…	……………………………………………………………………………….

1-jadvalda n ning sakkizta qiymatidan sakkizta formula olingan va n ning keyingш qiymatlari uchun davom ettirish mumkinligi ayon.

1-jadvalni chizma bilan izohlaymiz:
n=1 uchun, a²+b²=c² Pifagor teoremasi
---------------------------
Bizga to’g’ri burchakli uchburchak berilgan bo’lsin.Uning katetlarini va orqali, gipotenuzasini bilan belgilaymiz (1-chizma). Uchburchak uchlarini va harflari bilan belgilaymiz.



1-chizma

2-chizma.
1-chizmada quyidagi ishlarni bajarib 2-chizma holatiga kelamiz. 1-chizmada ucburchakning uchini markaz qilib, radiusi bo’lgan aylana chizamiz. Endi uchburchak uchini markaz qiliob radiusi bo’lgan aylana chizamiz. tomonini o’z ichiga olgan to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu chiziqning aylanalar bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda va nuqtalar bilan belgilaylik (2-chizmaga qarang). 2-chizmadan quyidagilarni hosil qilamiz
, , , ,
, .
Yon tomonlari ga, asosi ga teng teng yonli uchburchak yasaymiz.
Berilgan to’g’ri burchakli uchburchakdan yon tomoni va asosi bo’lgan teng yonli uchburchakka sirkul va chizg’ich yordamida o’tish usulini bayon qilamiz. To’g’ri burchakli uchburchak ning tomonini o’z ichiga olgan to’g’ri chiziq o’tkazamiz. to’g’ri burchakli uchburchakning uchidan to’g’ri chiziqqa parallel qilib to’g’ri chiziq o’tkazamiz. to’g’ri burchakli uchburchakning uchini markaz qilib radiusi bo’lgan aylana chizamiz. Bu aylananing to’g’ri chiziq bilan kesishgan nuqtasini orqali belgfilaymiz u holda bo’ladi. to’g’ri chiziqda uzunligi kesmaga teng kesma olmiz (3-chizmaga qarang). va nuqtalardan to’g’ri chiziqqa perpendikulyarlar tushiramiz. Bu perpendikulyarlarning asoslarini mos ravishda va harflari bilan belgilaymiz.
va nuqtalarni markaz qilib radiusi bo’lgan aylanalar chizamiz. Bu aylanalarning to’g’ri chiziq bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda va bilan belgilaymiz. to’g’ri chiziqdagi kesma o’rtasini harifi bilan belgilaymiz. Bu nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar nur tushiramiz. to’g’ri burchakli uchburchakning uchidan radiusi bo’lgan aylana chizamiz. Bu aylananing nuqtadan o’tkazilgan nur bilan kesishish nuqtasi bo’lsin. nuqtani to’g’ri chiziqdagi va nuqtalar bilan tutashtiramiz. Hosil bo’lgan uchburchak teng yonli, sababi va uchburchaklar bir- biriga teng bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchaklardir. Chunki, va esa va to’g’ri burchakli uchburchaklar uchun umumuiy katet. Demak, to’g’ri burchakli uchburchaklarning tenglik aomatiga ko’ra . Qurilishiga ko’ra
,
nuqtani markaz qilib radiusi bo’lgan aylana chizamiz. Bu aylananing tomon bilan kesishish nuqtasini bilan belgilaymiz. Hosil bo’lgan kesma uchun tenglik o’rinli.
3-chizma.
Shunday qilib, berilgan to’g’ri burchakli uchburchakdan yon tomonlari va asosi bo’lgan teng yonli uchburchak yasaldi.

4-chizma.
Shu o’rinda 4-chizmada keltirilgan teg yonli uchburchakning tomonini o’z ichiga oluvchi to’g’ri chiziq o’tkazamiz. uchburchakning nuqtasini markaz qilib radiusi aylana chizamiz. Endi nuqtani markaz qilib aylana chizamiz. Bu aylananing to’g’ri chiziq bilan kesishiush nuqrasini bilan belgilaymiz (5a-chizmaga qarang). kesmani parallel ko’chirishda nuqta nuqtaga o’tsin. BU parallel ko’chirishda nuqta ga o’tsin, . kesma o’rtasi bo’lgan dan perpendikulyar nur chiqaramiz. nuqtani markaz qilib ni nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqqa ko’chiramiz va kesmaga ega bo’dik va uning uzinligi Ya’ni, . nuqtani markaz qilib radiusi bo’lgan aylana chizamiz va aylana bilan nur kesishgan nuqtani bilan belgilaymiz. Bu erda . Shunday qilib uchburchak tomonlari quyidagich bo’ladi 5-chizma 5b qismiga qarang.

5a 5b
5-chizma

Bu teng yonli uchburchakdan navbatdagi teng yonli uchburchakka o’tish 4-chiozmadan 5- chizmaga o’tish kabi amalga oshiriladi. Bunda hosil bo’lgan ten yonli uchburchak yon tomoni uzinligi asosining uzunligi 6-chizmaga qarang . Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz.

Quyida 1-jadvalda

n	(n-1)(c+a)^2+(b+(n-1)(c+a))^2+( )^2= =( )^2
1	a^2+b^2=c^2
2	(c+a)^2+(b+a+ c)^2+(c+b)^2 =(2c+a+b)^2
3	(c+a)^2+(c+a)^2+(b+2a+2c)^2+(3c+2a+2b)^2=(4c+3a+2b)^2
4	(c+a)^2+(c+a)^2+(c+a)^2+(b+3a+3c)^2+(6c+5a+3b)^2=(7c+6a+3b)^2
5	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+4a+4c)^2+(10c+9a+4b)^2=(11c+10a+4b)^2
6	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+5a+5c)^2+(15c+14a+5b)^2=(16c+15a+5b)^2
7	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+6a+6c)^2+(21c+20a+6b)^2= =(22c+21a+6b)^2
8	(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2 +(c+a)^2+(b+7a+7c)^2+(28c+27a+7b)^2= =(29c+28a+7b)^2
…	……………………………………………………………………………….

(1-jadval)

6-chizma

n=1 holdan n=2 holga chizma bilan shu yo’l bilan o’tamiz:

Qo’shimcha ma’lumot sifatida a+b+c ni “tuzuvchi” deb atab turamiz, jarayonda buni anglab olamiz:
n=2 uchun, (c+a)²+(c+b)²+(a+b+c)²=(2c+a+b)²
qoidaga ko’ra 3-rasm chapdagi chizmadan 3-rasm o’ngdagi chizmani chizish mumkin,ya’ni
+