Farg’ona viloyati Politexnika instituti 1-kurs talabsi Alixonov Sayidxonning Oliy matematika fanidan. Uch karrali integrallar va ularni hisoblash mavzusida tayyorlagan taqdimoti

Farg’ona viloyati Politexnika instituti 1-kurs talabsi Alixonov Sayidxonning Oliy matematika fanidan. Uch karrali integrallar va ularni hisoblash mavzusida tayyorlagan TAQDIMOTI

.
Uch karrali integrallar va ularni hisoblash.
Fаrаz qilаylik, Oxyz fazodаgi birоr yopiq V sоhаdа u=f (х,y,z) funksiya аniqlаngаn vа chеgаrаlаngаn bo’lsin. V sоhаni iхtiyoriy n tа V1, V2, ..., Vn bo’laklarga bo’lamiz, bu bo’lаkchаlаrning hajmlаrini mоs rаvishdа V1, V2,... Vn dеb belgilaymiz vа hаr bir bo’lаkchаlаrdаn iхtiyoriy Mi (xi, yi, zi) (i =1, 2, ... , n) nuqtа оlib quyidаgi yig’indini
tuzаmiz:
(1).
Eng kаttа diаmеtrli Vi ni  dеylik, ya’ni = maxVi. Аgаr (1) intеgrаl yig’indining  0 dа V ni  Vi bo’lаkchаlаrgа аjrаtish usuligа vа hаr bir Vi dа Mi (xi, yi, zi) nuqtаni tаnlаb оlish usuligа bоg’liq bo’lmаgаn limiti mаvjud bo’lsа, bu limitgа f (x,y,z) funksiyadаn V sоhа bo’yichа оlingаn uch o’lchоvli intеgrаl dеyilаdi vа
ko’rinishlаrdа bеlgilаnаdi:
Faraz qilaylik, Oxyz uch o‘lchovli koordinata fazosida chekli diametrli va o‘lchanuvchi D soha berilgan bo‘lib, uning chegarasidan iborat bo‘lgan yopiq  sirt Oz koordinata o‘qiga parallel bo‘lgan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq bilan ikkitadan ortiq umumiy nuqtaga ega bo‘lmasin yoki ularning umumiy nuqtalarining to‘plami yasovchisi Oz o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirtdan iborat, hamda uning Oxy koordinata tekisligidagi proyeksiyasi ikki o‘lchovli to‘g‘ri Dx sohadan iborat bo‘lsin, u holda D ni Oz o‘qqa nisbatan uch o‘lchovli to‘g‘ri soha deb ataladi. Xuddi shunga o‘xshash Ox yoki Oy) o‘qqa nisbatan uch o‘lchovli to‘g‘ri soha tushunchasi ham kiritiladi.
sistema vositasida aniqlash mumkin. Bu holda
Oz o‘qqa nisbatan uch o‘lchovli to‘g‘ri D sohani
yoki
tenglik to‘g‘ri bo‘lib, u uch karrali integralni hisoblashning asosiy formulalaridan biridir.
Uni hisoblash uchun, dastavval,
ifodada
va
o‘zgaruvchilar
tayinlangan (o‘zgarmas) deb faraz qilib,
bajarib, qandaydir ikki o‘zgaruvchili
bo‘yicha integrallash amalini
unda x ni tayinlangan va
funksiyaga ega bo‘lamiz, so‘ngra
deyilgan faraz asosida y bo‘yicha integrallab,
x ning funksiyasini hamda
ni
oraliq bo‘yicha integrallab,
uch
karrali integralning ha qiymatiga ega bo‘lamiz.
o‘lchovli sohani olsak,
1-misol.
ni hisoblang, bu yerda
chegaralangan piramidadan iborat sohadir.
tekisliklar bilan
Yechish. Bu misoldagi integrallash sohasi
koordinata o‘qlarining uchchalasiga nisbatan ham
to‘g‘ri sohadir. Agar
ning
ikki
koordinata tekisligidagi
proyeksiyasi bo‘lgan
ikki
to‘g‘ri chiziqlar bilan
1
О
chegaralangandir. Bu holda
sohada
o‘zgaruvchi uchun
bo‘lishini e’tiborga olib,
ni olamiz.
ni
sistema vositasida aniqlasak,
integrallashga kelamiz:
tartibda
Uch karrali integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish.
Aytaylik,
sistema
Dekart koordinatalari vositasida
berilgan uch o‘lchovli chekli diametrli va o‘lchanuvchi bo‘lgan
sohani egri chiziqli
koordinatalar vositasida aniqlanuvchi
sohaga o‘zaro bir qiymatli ravishda
akslantirsin. Buning uchun almashtirish Yakobiani
uzluksiz va
noldan farqli bo‘lishi zarur.
Uch karrali integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi:
Uch karrali integralda silindrik koordinatalarga o‘tish.
Agar
Dekart koordinata fazosida
nuqtani
nuqtani
olsak, uning
koordinata tekisligidagi proyeksiyasi
nuqtadan iborat bo‘lib, uning shu tekislikdagi qutb koordinatalarini
desak, u holda
va
larni
nuqtaning silindrik
koordinatalari deyiladi va
kabi yoziladi.
nuqtaning
•
•
М
М0


О
y
x
z
z
Dekart va silindrik koordinatalari orasida
bog‘lanish bo‘lib, bu sistemani Dekart koordinatalaridan silindrik
koordinatalarga o‘tish almashtirishi deb yuritiladi. Bu almashtirish uchlangan integralda
sohani biror
sohaga akslantiradi deb faraz qilgan holda uning Yakobianini
hisoblaylik:
Uch karrali integralda silindrik koordinatalarga o‘tish formulasi:
1-misоl. x2+4y2 = 1, z = x, z = 0 (x ≥ 0) sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini hisоblang