Farg’ona davlat universiteti

1.2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala

Ushbu

(1.2.1)

differensial tenglamaning

(1.2.2)

shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi (1.1) tenglama uchun ikki nuqtali chegaraviy masala deb ataladi. Bunda (1.2) – chegaraviy shartlar deb yuritiladi.(1.1) Va (1.2) tengliklarda – berilgan sonlar, lar esa berilgan funksiyalar bo’lib, va .

{(1.1), (2.1)} masalani noma’lum funksiyani almashtirish bilan soddalashtirish mumkin. Haqiqatdan ham, noma’lum funksiyani

tenglik bilan yangi noma’lum funksiyaga almashtirsak, (1.1.1) tenglama yana ikkinchi tartibli quyidagi ko’rinishdagi

chiziqli differensial tenglamaga, (1.2.2) chegaraviy shartlar esa ko’rinishga keladi, bu yerda

Ko’pincha (1.2.1) tenglamani tekshirishga qulay bo’lganm boshqa ko’rinishda yoziladi. Agar (1.2.1) tenglamaning ikki tomonini exp∫p₁(x)dx funksiyaga ko’paytirib, ba’zi shakl almashtirishlarni bajarsak,

(1.2.3)

ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. Bu yerda

Yuqoridagi mulohazalarni e’tiborga olib, umumiylikni chegaralamagan holda {(1.2.1), (1.2.2)} masala o’rniga (1.2.3) tenglamaning

, (1.2.4)

shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish haqidagi chegaraviy masalasini o’rganish yetarli degan hulosaga kelamiz.

Agar bo’lsa, {(1.2.3), (1.2.4)} masala bir jinsli bo’lmagan masala, bo’lganda esa bir jinsli masala deb yuritiladi.

Yuqorida bayon qilingan masala (1.2.3) tenglamaning ushbu

(1.2.5)

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi masalaning xususiy holidir, bu yerda - berilgan o’zgarmaslar bo’lib, va . Agar bo’lsa, {(1.2.3), (1.2.5)} masala bir jinsli chegaraviy shartli masala deyiladi, bo’lganda esa tegishli masala bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartli masala deyiladi.

Demak, ikki nuqtali chegaraviy masalada berilgan differensial tenglama qaralayotgan kesma chegarasida nafaqat noma’lum funksiyaning qiymati, balki uning hosilasining qiymati yoki o’zi va hosilasining biror chiziqli kombinatsiyasining qiymati berilishi mumkin ekan. Odatda, (1.2.3) tenglama uchun (1.2.4) shartlar bilan qo’yilgan masala birinchi chegaraviy masala, shartlar bilan qo’yilgan masala ikkinchi chegaraviy masala, qolgan hollarda esa aralash chegaraviy masala deb ataladi.