Farg’ona davlat universiteti

Tadqiqot usuli va uslubiyoti. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar va ularga qo‘yilgan chegaraviy masalalarni yechish.

I BOB.

Chegaraviy masalalar

1.1-§. Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha

Chegaraviy masalalar ˗ berilgan sohada aniqlangan funksiyalarning biror sinfidan bu sohaning chegarasida berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topish uchun mo’ljallangan masalalar. Aniq hodisalarni ifodalovchi funksiyalar, odatda, matematik fizika tenglamalarining yechimlaridan iborat bo’ladi. Matematik fizika tenglamalari (differensial, integral, integrodifferensial,funksional tenglamalar) cheksiz ko’p yechimlarga ega. Shuning uchun ham kerakli birdan bir yrchimni aniqlash uchun qo’shimcha chegaraviy shatlar beriladi. Chegaraviy masalalarni tekshirishda integral tenglamalar, oldindan baholashlar, chekli ayirmalar usuli va boshqa usullar keng qo’llaniladi.

Differensial tenglamalar uchun qo’yilgan Koshi (boshlang’ich) masalasini eslab o’taylik. Sodda qilib aytganda, Koshi masalasi berilgan differensial tenglamaning berilgan nuqtadan o’tadigan integral chizig’ini izlashdan iborat edi. Agar differensial tenglamaning biror bir integral chizig’ini berilgan ikki nuqtadan o’tishi talab etilsa, bu masala Koshi masalasidan farq qilib, berilgan ikki nuqtaning har biri uchun alohida olingan Koshi masalasi yechimga ega bo’lsa ham, bu masala yechimga ega bo’lmasligi mumkin.

Birinchi tartibli differensial tenglama uchun bu masala quyidagicha

,

kabi yoziladi, bu yerda – berilgan sonlar bo’lib, . Bu masalani o’rganishda, qaralayotgan differensial tenglamaning shartni qanoatlantiradigan yechimi mavjud bo’lsa, u yechim shartni ham qanoatlantiradimi yoki yo’qmi? degan savolga javob berish lozim bo’ladi. Bu holda bevosita savolga tekshirish bilan javob berish mumkin. Masalan, masala yechimga ega emas. Haqiqatdan ham berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishga ega bo’lib, undan shartga ko’ra , ya’ni kelib chiqadi. Demak, yechim shartni qanoatlantiradi. Ammo bu funksiya shartni qanoatlantirmaydi, chunki . Demak, bu funksiyaga mos integral chiziq (1;1) nuqtadan o’tmaydi. Shuning uchun o’rganilayotgan maala yechimga ega emas. Ammo yuqoridagi mulohazalardan ko’rinib turibdiki, ushbu masala yagona yechimga ega.

Ma’lumki, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi (boshlang’ich) masalasi shartlar bilan qo’yiladi. Bu maala geometrik nuqtai nazardan, berilgan differensial tenglamaning nuqtadan y₁ burchak koeffitsiyent bilan o’tuvchi integral chizig’ini topishdan iborat. Qaralayotgan tenglama uchun chegaraviy shartli masala qo’yilishi ham mumkin. Bu masalada tenglamaning integral chizig’i va nuqtalardan o’tishi talab qilinayotgan bo’lib, bu nuqtalardan bu integral chiziq qanday burchak koeffitsiyent bilan o’tishi avvaldan berilgan emas. Misol sifatida ushbu

masalani tekshiraylik. Berilgan differensial tenglamaning yechimi

dan iborat, bu yerda va - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bundan shartni qanoatlantiradigan yechim ekani kelib chiqadi. Agar (k – berilgan ixtiyoriy butun son) bo’lsa, bo’ladi. Demak, bunda funksiya – ixtiyoriy son bo’lganda ham qaralayotgan masalaning yechimi bo’ladi, ya’ni bunda masala cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. bo’lib, tenglikdan kelib chiqadi. Bu holda qaralayotgan masala ko’rinishdagi yagona yechimga ega bo’ladi. Xususiy holda, shartni qanoatlantiradigan yechim faqatgina mavjud bo’lib, u funksiyadan iborat bo’ladi.

Yuqorida differensial tenglamalar uchun qo’yilgan masala Koshi masalasidan farq qiladigan masala bo’lib, uni ikki nuqtali chegaraviy masala yoki, to’g’ridan-to’g’ri, chegaraviy masala deb yuritiladi.