Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar “ kafedrasi

Korrelyatsiya koeffitsienti
Korrelyatsiya koeffitsienti - bu +1 dan -1 gacha o'zgarishi mumkin bo'lgan qiymat. To'liq ijobiy nisbatda, ushbu koeffitsient 1 va to'liq salbiy - minus 1. To'g'ridan-to'g'ri derazalar juftligi qiymatlari kesishgani:

Agar ushbu fikrlar to'g'ri chiziqda o'rnatilmagan bo'lsa va "bulut" bo'lsa, mutlaq qiymatdagi korrelyatsion koeffitsient jihozdan kam bo'ladi va bu bulut esa nolga yaqinlashadi:

Agar korrelyatsiya koeffitsienti 0 bo'lsa, ikkala o'zgaruvchilar bir-biridan umuman mustaqil emas.
Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:
1. , ya’ni ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar bo‘lsa, u holda X va Y t.m.lar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.
Shunday qilib, bogliqsiz t.m.lar uchun , chiziqli bog‘langan t.m.lar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, t.m.lar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.
Ikkita uzluksiz tasodifiymiqdor sistemasining sonli xarakteristikalari
Tashkil etuvchilarning differensial funksiyalarini bilganholda ularning matematik kutilishlarini va dispersiyalarini toppish mumkin:
;



Ba’zan sistemaning differensial funksiyalarini o’z ichiga oladigan ushbu
formulalardan foydalanish qulay bo’ladi ( ikkikarrali integrallar sistemasining mumkin bo’lgan qiymatlari sohasidan olinadi):

,
;
(X,Y) sistemaning k+s-tartibli boshlang’ich momenti deb , ko’paytmaning matematik kutilishiga aytiladi:

Xususan,

(X,Y) sistemaning (k+s)-tartibli markaziy momenti deb, mos ravishda k-tartibliva s-tartibli chetlanishlar ko’paytmasining matematik kutilishiga aytiladi:

Xususan,


(X,Y) sistemaning korrelyatsion momenti deb, (1 +1)-tartibli µ_1,1
Markaziy momentga aytiladi:

X va Y miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsiyenti deb korrelyatsion momentning bu miqdorlarning o’rtacha kvadratik chetlanishlari ko’paytmasiga nisbatiga aytiladi:

Korrelyatsiya koeffitsiyenti o’lchamsiz miqdordir, shubilanbirga. Korrelyatsiya koeffitsiyenti X va Y orasidagi chiziqli bog’lanish zichligini baholash uchun xizmat qiladi: korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati nolga qancha yaqin bo’lsa, bog’lanish shuncha kuchsizdir.
Agar ikkita X va Y tasodifiy miqdorning korrelyatsion momenti noldan farqli bo’lsa, bu miqdorlar korrelyatsiyalangan deyiladi.
Agar ikkitaX va Y tasodifiy miqdorning korrelyatsion momenti nolga teng bo’sa, bu miqdorlar korrelyatsiyalanmagan deyiladi.
Ikkita korrelyatsiyalangan miqdor, shuningdek, bog’liqhamdir;
Agar ikkita miqdor bog’liq bo’lsa, ular korrelyatsiyalangan bo’lishi ham, korrelyatsiyalanmagan bo’lishi ham mumkin
Ikkita miqdorning erkliligidan ularning korrelyatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, lekin bu miqdorlarning korrelyatsiyalanmaganligidan ularning erkliligi haqida xulosa chiqarish mumkin emas ( normal taqsimlangan miqdorlar uchun korrelyatsiyalanmaganlikdan erklilik kelib chiqadi).
X va Y uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun korrelyatsion moment ushbu formulalardan topilishi mumkin.


1-misol. Agar (X,Y) tasodifiy miqdorlar sistemasining differensial funksiyalaridan biri faqat x ga, ikkinchisi esa faqat y ga bog’liq bo’lgan ikkita funksiyaning ko’paytmasi ko’rinishida tasvirlanishi mumkin bo’lsa, u holda X va Y miqdorlar erkli bo’lishini isbot qiling.