Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan

1. To‘plamning limit nuqtasi.
Aytaylik, biror to‘plam va  nuqta berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy

atrofida  to‘plamning nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
Misollar. 1.  to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
2.  to‘plamning har bir nuqtasi va x=0, x=1 nuqtalar shu to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi.
3.  to‘plamning limit nuqtasi  bo‘ladi.
4.  to‘plam limit nuqtaga ega emas.
2-ta’rif. Agar  nuqtaning ixtiyoriy

o‘ng atrofida (chap atrofida) X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,  nuqta X to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy c uchun

to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “+ X to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi.
Agar ixtiyoriy c uchun

to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “ X to‘plamning limit «nuqta»si deyiladi.
Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.
1-teorema. Agar  nuqta X R to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u holda  nuqtaning har qanday

Atrofida X to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi.
Aytaylik,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema tasdig‘ining teskarisini faraz qilaylik: nuqtaning biror  atrofida  to‘plamning chekli sondagi  nuqtalarigina bo‘lsin. U holda

deb olinsa,  nuqtaning  atrofida X to‘plamning  dan farqli bitta ham nuqtasi bo‘lmaydi. Bu esa  nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir.
2-teorema. Agar  nuqta X R to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u holda shunday sonlar ketma-ketligi  topiladiki,
1)
2)
bo‘ladi.