Farg`ona Davlat Universiteti Fizika- matematika fakulteti

Farg`ona Davlat Universiteti

Fizika- matematika fakulteti

Matematika yo`nalishi 20.01 guruh talabasi

Xaydaraliyeva Dilnozaning Matematik analiz

fanidan Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar

mavzusida yozgan mustaqil ishi.

Mavzu: Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar.

Reja:

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar.

Shartli yaqinlashuvchi qatorlar.

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning o`rin almashtirish xossasi.

Biz ixtiyoriy hadli qatorni tanlaylik.

1-teorema. Agar ixtiyoriy hadli

qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

qator yaqinlashsa , u holda berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.

Isboti. va mos ravishda va qatorlarning n- xususiy yig`indilari bo`lsin.

bilan barcha musbat va bilan xususiy yig`indidagi barcha manfiy ishorali hadlar absolyut qiymatlari yig`indisini belgilaymiz. U holda , bo`ladi.Shartga ko`ra qator yaqinlashuvchi , shu sababli xususiy yig`indilar ketma-ketligi S limitga ega.

va lar esa musbat va o`suvchi ,shu bilan birgalikda va ( chegaralangan) ,demak, ular ham limitga ega.

, munosabatdan ham limitga ega ekanligi kelib chiqadi. .

Ta`rif. Ixtiyoriy hadli qator hadlari absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi. Ta`rif.Agar ixtiyoriy hadli qator yaqinlashuvchi bo`lib, bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.

Misol. Quydagi qatorni qaraylik.

Leybnist alomatiga ko`ra, bu qator yaqinlashuvchi, lekin qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator uzoqlashuvchi.Demak qator shartli yaqinlashuvchi.

Chekli yig`indining muhim xossalaridan biri o`rin almashtirish xossasidir,ya`ni yig`indi qo`shiluvchilar tartibiga bog`liq emasligidir.Bu xossa qatorlar uchun o`rinlimi? Degan savolni qarash tabiiydir, ya`ni yaqinlashuvchi qator hadalrini istalgancha o`rinlarini almashtirish na`tijasida qator yig`indisi o`zgarmaydimi ( yaqinlashuvchi bo`lib qoladimi)?

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning o`rin almashtirish xossalari.

1-teorema.Agar absolyut yaqinlashuvchi qatorda hadlarini istalgan tartibda o`zgartirsak yana absolyut yaqinlashuvchi qator hosil bo`lib,uning yig`indisi avvalgisining yig`indisiga teng bo`ladi.

Isbot. Bu teoremani avval musbat qator uchun isbotlaymiz.Aytaylik

Musbat qator va uning yig`indisi S bo`lsin .

Bu qator hadlarini biror usulda o`rinlarini almashtirib,yangi

qatorni hosil qilamiz.Bu qator hadlarini eski belgilash orqali yozib chiqamiz.

u holda qator quydagi ko`rinishda yoziladi.

Ravshanki ni har bir hadi qatorning ham hadi va aksincha bo`ladi. qatorning xususiy yig`indisini tuzamiz.

va sonlardan kattasini tanlaymiz va uni m bilan belgilaymiz. U holda qatorning xususiy yig`indi hadlari ichida yig`indi hadlari mavjud. Shu sababli (bu yerda n ixtiyoriy, m esa n ga bog`liq tanlangan) tengsizlik o`rinli.

musbat qator yaqinlashuvchi va yig`indisi S ga teng bo`lganligi sababli istalgan m uchun tengsizlik o`rinli. U holda albatta bajariladi. So`nggi tengsizlik musbat qatorning xususiy yig`indilari yuqoridan chegaralanganligini anglatadi.

Demak, qator yaqinlashuvchi va uning yig`indisi qator yig`indisi S dan katta emas. .Shunday qilib, qator hadlarini o`rinlarini almashtirish na`tijasida qator qator hadlari o`rinlarini almashtirish na`tijasida hosil qilinishi mumkin. Shu sababli ham qator yig`indisi qator yig`indisidan katta emas , ya`ni va tengsizliklardan kelib chiqadi. Shunday qilib , musbat qtor uchun teorema isbotlandi.

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarni ko`paytirish.

Aytaylik va yaqinlashuvchi qatorlar berilgan bo`lsin.

va qatorlar hadlaridan tuzilgan barcha ko`paytmalarni tuzib chiqamiz. ko`paytmalarni biror tartibda nomerlab , ko`rinishda yozib olamiz va quydagi qatorni qaraymiz ;

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar uchun quydagi teorema o`rinli.

Teorema. (qatorlarni hadma- had ko`paytirish haqida). Agar va qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda birinchi qator hadlarini ikkinchi qator hadlariga ko`paytirishdan hosil bo`lgan ko`paytmalardan (va istalgan tartibda joylashtirilgan ) tuzilgan qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, uning S yig`indisi va qator yig`indilari A va B larning ko`paytmasiga teng bo`ladi.

Isbot. Teorema shartiga ko`ra, va absolyut yaqinlashuvchi shu sababli

qatorlar yaqinlashuvchi bo`ladi . Bu holda

qator yaqinlashuvchi bo`lishini ko`rsatamiz. shu qatorning n- xususiy yig`indisi bo`lsin. U ko`rinishidagi hadlardan tuzilgan. yig`indigo kiruvchi hadlarning va indekslari ichida eng kattasi mavjud va uni bilan belgilaymiz .Endi

chekli yig`indilarni ko`paytirib chiqsak, ko`paytmaning hadlari yangi hosil qilingan ko`paytma hadlari ichida bo`ladi. va qatorlarning musbat ekanligini hisobga olsak. hosil bo`ladi.

tengsizlikning o`ng tomonida va musbat qatorlarning m ta xususiy yig`indilarining ko`paytmasi turibdi. Bu qatorlar yaqinlashuvchi bo`lganligi sababli, va xususiy yig`indilar yuqoridan chegaralangan ,demak, tengsizlikka ko`ra xususiy yig`indi ham yuqorida chegaralangan. Bunda musbat qatorning, undan esa qatorning absolyut yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.