|
Функциянинг йукотилмас хатоси. Энди агрументларнинг такрибий кийматлари маълум булганда функциянинг йукотилмас хатосини топиш масаласини куриб чикайлик. Фараз килайлик,
функцияни кийматини хисоблаш керак булсин, бунда аргументларнинг аник кийматлари маълум булмасдан, факат такрибий кийматлари ва уларнинг мос равишдаги абсолют хатолари маълум булсин. Катъий килиб айтганда, нинг йукотилмас хатосини топиш аргументларнинг узгариш сохаси берилганда функциянинг узгариш сохаси топишдан иборатдир. Бу масала математик анализ масаласи булиб, озми-купми мураккаб булганда нихоят огир масаладир. Шунинг учун хам купрок булсада, бу масалани элементар хал киладиган усулларга эга булиш максадга мувофикдир.
Бу масалани ечиш учун каралаётган функция ва аргументларнинг хатоларига нисбатан биз куйидаги шартларни куямиз:
а) каралаётган соха узлуксиз дифференциалланувчи булиб, хусусий хосилалари секин узгаради;
б) аргументларнинг нисбий хатолари етарлича кичик.
У холда Лагранж формуласига кура куйидаги уринли:
, (3.3)
бу ерда эса ва нукталарни бирлаштирувчи кесманинг кандайдир нуктаси.
Функцияга куйилган (1) шартга кура ва билан алмаштириш мумкин.
,
бундан эса,
.
Демак, функциянинг абсолют хатоси учун куйидаги формулага эга буламиз:
(3.4)
Энди функциянинг нисбий хатосини топиш кийин эмас, у куйидагига тенг:
ёки
. (3.5)
Агар биз функциянинг нисбий хатосини аргументнинг нисбий хатоси оркали ифодалайдиган булсак, (3.5) ни куйидагича ёзиш мумкин:
.
Бу ердан эса
(3.6)
Шундай килиб функциянинг абсолют ва нисбий хатоларини топиш учун биз умумий (3.4), (3.5), (3.6) формулаларга эга булдик. Энди шу формулаларнинг айрим татбикларини курайлик.
Арифметик амаллар ва логорифмларнинг хатоси. та мусбат такрибий сонлар йигиндиси
нинг абсолют нисбий хатоларини топиш талаб килинсин. Бу холда лар бирга тенг булиб, , Бу кийматларни (3.4) ва (3.6) формулаларга куйиб,
, (3.7)
(3.8)
ларни хосил киламиз. Шуни хам эслатиб утиш керакки, (3.7) тенглик юкорида айтилган шартларга боглик эмас. (3.7) тенгликни куйидаги теорема шаклида таърифлашимиз мумкин.
1-теорема. Бир хил ишорали кушилувчилар йигиндисининг абсолют хатоси кушилувчилар абсолют хатоларининг йигиндисига тенг.
ва булсин, у холда (3.8) тенгликдан куйидаги
ва
тенгсизликлар келиб чикади. Шундай килиб, куйидаги теорема исбот булди.
2-теорема. Бир хил ишорали такрибий сонларни кушиш натижасида хосил булган йигиндининг нисбий хатоси кушилувчиларнинг энг катта ва энг кичик нисбий хатолари орасида ётади.
1-теоремадан куриниб турибдики, йигиндининг абсолют хатоси аниклиги энг кичик булган кушилувчининг абсолют хатосидан кам эмас. Демак, бошка кушилувчиларни кандай аникликда олмайлик, йигиндининг аниклигини ортира олмаймиз. Шунинг учун хам аниклиги катта булган сонларда ортикча ракамларни саклаш маънога эга эмас.
Айтилганлардан кулда ёки автоматик булмаган машиналарда хисоблашларда одатда кулланиладиган куйидаги коида келиб чикади.
Коида. Хар хил аникликдаги сонларни кушиш учун:
а) унли ракамлари бошкаларидагига нисбатан энг кам булгани ажратилиб, уларни узгаришсиз колдириш керак;
б) конлган сонларда эса битта ёки иккита ортикча ракамлар колдирилиб, ажратилган сонларга нисбатан яхлитлаш керак;
в) хама сакланган хоналарни хисобга олган холда берилган сонларни кушиш керак;
г) хосил булган натиджани битта ёки иккита хонага яхлитланиш керак.
Энди айирмани хатоларини куриб чикайлик. Фараз килайлик; булиб, булсин. У холда умумий формуладан
(3.9)
(3.10)
келиб чикади. Бу ерда хам айирманинг абсолют хатоси камаювчи билан айрилувчи абсолют хатоларнинг йигиндисига тенг. Лекин натижанинг нисбий хатоси бу нисбий хатоларнинг хар биридан катта булади.
Агар камаювчи айрилувчидан анча катта булса, у вактда (3.10) нинг махражи га якин булиб, касрнинг узи эса га якин булади. Бу хол кушишдагига ухшайди ва кушишдагидек иш тутиш керак. Агар камаювчи билан айрилувчи узаро якин булса, у холда ахвол тамоман бошкача булади. Бу ерда махраж жуда кичик булиб, каср жуда катта булиб кетади. Бу холда куп ишончли ракамлар йуколади. Шунинг учун имкони борича узаро якин сонларни айирмасилик керак. Айрим холларда формулалар устида турли узгартиришлар бажариб, бундан кутулиш мумкин булади. Масалан, биздан тенгламанинг кичик илдизини топиш талаб килинган булиб, натижада 4 та маъноли ракам саклансин. Бу тенгламанинг кичик илдизи
га тенг булиб, бу ерда яхлитлашдан кейин
га эга буламиз. Суратда иррационалликдан кутулиб, ни куйидагича ёзиш мумкин.
.
Яхлитланишдан кейин эса 69+68,99=138,0. Натижада ва яна яхлитласак . Кушимча хоналар устида амаллар бажариб текшириб куришимиз мумки, хар иккала холда хам остида чизилган ракамлар ишончли ракамлардир. Лекин иккинчи холда натижанинг аниклиги анча юкоридир.
Энди такрибий сонларнинг купайтмасини куриб чикайлик. Фараз килайлик, булсин. У вактда (3.4) ва (3.6) формулаларга кура.
, (3.11)
(3.12)
Охирги тенгликни куйидаги теорема сифатида таърифлашимиз мумкин.
3-теорема. Такрибий сонлар купайтмасининг нисбий хатоси купаювчилар нисбий хатоларининг йигиндисига тенгдир.
Булинма учун хам биз шундай хулосаларга келамиз. Масалан,
учун (3.4) ва (3.6) формулаларга кура
,
.
Нихоят, лагорифмлашнинг хатосини куриб чикайлик, Бизга натурал логарифм берилган булса, (3.4) формулага кура
,
яъни натурал логарифмнинг абсолют хатоси аргументнинг нисбий хатосига тенгдир. Унли лагорифм учун
,
бу ерда -утиш модули,
.
Купол килиб айтганда, унли лагорифмнинг абсолют хатоси агумент нисбий хатосининг ярмига тенг.
Ишончли ракамлар соснини хисоблаш коидаси. Биз юкорида такрибий соннинг абсолют хатоси ва унинг ишончли раками бир-бирлари оркали ифодаланишини курган эдик. Шунга ухшаган муносабатни такрибий сон ишончли ракамларининг микдори билан унинг нисбий хатоси орасида хам урнатиш мумкин. Фараз килайлик,
такрибий сонда хама ракамлари ишончли булсин. Демак, . Бу тенгсизликнинг хар икала томонини га булиб,
,
яъни
(3.13)
ни хосил киламиз, бу ерда -биринчи маъноли ракам булиб, - ишончили ракамлар сони.
Агар ишончли ракамлар сони маълум булса, у холда (3.13) тенгсизлик нисбиё хатосини аниклайди.
Фараз килайлик такрибий соннинг нисбий хатоси берилган булсин.
Агар
(3.14)
тенгсизликнинг бутун сондаги ечими булса, у холда биринчи ишончли раками га тенг булган такрибий сон хеч булмаганда та ишончли ракамга эга булади. хакикатан хам.
.
Бу эса ракамнинг ишончли эканлигини курсатади.
Энди биз (3.13)-(3.14) тенгсизликларининг бир татбикини курамиз, бошка татбиклари эса машкларда келтирилади.
3-теорема. Унли санок системасида такрибий сонларнинг хар бирининг ишончли ракамлари сони дан кам булмасин. У вактда купайтма энг камида та ишончли ракамга эга булади.
Исбот. Фараз килайлик, мос равишда ларнинг биринчи маъноли ракамлари булсин. У вактда (3.13) тенгсизликка кура
.
3-теоремага кура
Бундан да
булганлиги учун
Шу билан теорема исбот булади. Шуни хам таъкидлаб утиш керакки, бизнинг бахо нихоят даражада куполдир, амалда купайтмада ишончли ракамларнинг сони ёки айрим холда га тенг булиши хам мумкин.
Бу теоремадан шундай хулосага келамиз.
Кулда ёки автомат булмаган машинада иккита сони узаро купайтириш учун вактни тежаш ва ёзувни каскартириш максадида аникрок сонни шундай яхлитлаш керакки, унинг ишончли ракамлар сони аниклиги камрок булган сонларига кура биттага ортсин.
4 – маъруза
Do'stlaringiz bilan baham: |
