Fanidan kurs ishi mavzu: Affin almashtirish gruppasi va uning qism gruppalari

1.6.Affin almashtirishlar guruhi.


Affin geometriya – mat.ning bir sohasi. Unda l oʻlchovli fazoda chekli sondagi vektorlar, shuning-dek algebraik chiziq va sirtlarning affin almashtirishlar (mas, toʻgʻri chiziqlar toʻgʻri chiziqlarga, nuqtalar nuqtalarga oʻtadigan almashtirishlar)da saqlanadigan (invariant) xossalari oʻrganiladi. Affin almashtirishlarning muhim xossalaridan biri – tekisliqsa berilgan uchburchakni berilgan ikkinchi uch-burchakka oʻtkazuvchi yago-na affin almashtirish mavjud; shunga oʻxshash tasdiq l oʻlchovli fazo uchun ham oʻrinli. Vektorlar, chiziq va sirtlarning affin almashtirishda saqlanadigan xos-salari affin invariantlar deyiladi. Mac, uchburchakning toʻgʻri burchakliligi affin almashtirishda saqlanmaydi, binobarin, bu xossa affin invariant emas, shuningdek kesma uchburchakning bissektrisasi boʻlishi ham affin invariant emas, ammo uchburchak medianalarining kesishish nuqtasida 1:2 nisbatda boʻlinishi invariantdir. Affin almash-tirish natijasida ellips yana ellipega, giperbola yana giperbolaga, parabola yana parabolaga almashinadi. Shuning uchun hamma ellipslar (shuningdek, giperbola va parabola ham) bitta affin sinfni tashkil qiladi
Buni chalkashtirib yubormaslik kerak yaqinlik maydoni.

Yilda  yuqori tekislik (ko'k rangda) vektor subspace emas, chunki  va  bu affin subspace. Uning yo'nalishi pastki (yashil) tekislikdir  bu vektor subspace. Garchi  va  ichida  ularning farqi a joy almashtirish vektoriga tegishli bo'lmagan  lekin vektor makoniga tegishli 

Ikkala chiziqli segmentlaro'lchovli afin maydoni.
Yilda matematika, an afin maydoni geometrik tuzilishi ning ba'zi xususiyatlarini umumlashtiradigan Evklid bo'shliqlari faqat ular bilan bog'liq xususiyatlarni saqlab, masofa va burchak o'lchovi tushunchalaridan mustaqil bo'ladigan tarzda parallellik va uzunliklarning parallel nisbati chiziq segmentlari.
Afinaviy bo'shliqda kelib chiqish vazifasini bajaradigan alohida nuqta yo'q. Demak, hech bir vektor kelib chiqishi aniq emas va hech qanday vektor nuqta bilan o'ziga xos tarzda bog'lana olmaydi. Afinaviy bo'shliqda buning o'rniga mavjud siljish vektorlarideb nomlangan tarjima vektorlar yoki oddiygina tarjimalar, bo'shliqning ikki nuqtasi o'rtasida.[1] Shunday qilib, tarjima vektorini berib, bo'shliqning ikkita nuqtasini olib tashlash mantiqan, ammo bo'shliqning ikkita nuqtasini qo'shish mantiqiy emas. Xuddi shu tarzda, afinaviy bo'shliqning bir nuqtasiga siljish vektorini qo'shish mantiqan to'g'ri keladi, natijada boshlang'ich nuqtadan ushbu vektor tomonidan yangi nuqta tarjima qilinadi.
Har qanday vektor maydoni affin maydoni sifatida qaralishi mumkin; bu o'ynagan maxsus rolni unutishni anglatadi nol vektor. Bunday holda, vektor makonining elementlarini quyidagicha ko'rish mumkin ochkolar affin maydonining yoki siljish vektorlari yoki tarjimalar. Nuqta deb qaralganda, nol vektor kelib chiqishi. A elementlariga sobit vektor qo'shish chiziqli pastki bo'shliq a vektor maydoni ishlab chiqaradi affin subspace. Odatda, bu affin subspace translatsiya vektori bilan chiziqli subspace-ni tarjima qilish orqali (kelib chiqmasdan) olingan deb aytiladi. Cheklangan o'lchamlarda, bunday affin subspace ning yechim to'plami bir hil emas chiziqli tizim. Ushbu affin fazosi uchun siljish vektorlari mos keladigan echimlardir bir hil chiziqli tizim, bu chiziqli subspace. Lineer pastki bo'shliqlar, aksincha, har doim vektor makonining kelib chiqishini o'z ichiga oladi.
The o'lchov Afinaviy bo'shliq vektor makonining o'lchami uning tarjimalari. Afinaviy o'lchov maydoni - bu afinaviy chiziq. 2-o'lchamdagi affin bo'shliq an afin tekisligi. Afinaning kichik o'lchamlari n – 1 affin fazasida yoki o'lchovning vektor makonida n bu afin giperplanasi.