F (X) funksiya ox o’qining yuqori (manfiy bo’lmagan) qismida joylashgan hamda uzluksiz bo’lib, X = a

Yechilishi: Parabola tenglamasidan hosila olamiz:
y = (x2 + 2) = 2x, ya’ni y = 2 x.
(5)- formulani qo’llaymiz:
2 1-- 2 __2 n
l = J"v 1 + (2x) dx = JV 1 + 4x2 dx = 2 JJ — + x2 dx =
n n П V 4
= 2
x 2\
1 2 1,
— + x + —ln
4 8
1 2
x + J—+ x V 4
=2
17+11п
48
2+
17
4
Л 11^
У 8 2У
= л/л + 1ln(4 + ThU 4,65. 4 v 7
Demak, izlanayotgan ON yoyning uzunligi 4,65 uzunlik o’lchov birligiga teng ekan.
( г 31 x2
2-misol. O(0;0) va N v3^ nuqtalar orasidagi y = ~ parabola
V 2 У 2
yoyining uzunligini toping.
x
dy
dx
Yechilishi: Berilgan parabolaning y = ~ tenglamasini differensiallab,
= x ni, so’ngra, (5) formulaga asosan ON yoyning uzunligini topamiz:
l = J л/1 + x2 dx = — xV x2 +1 +—ln (x + л/ x2 +1)
0 V 22 y
Demak, yoy uzunligi 2,4 uzunlik o’lchov birligidan iborat ekan.
3-misol. 0 < t < T da x = a cos t, y = a sin t aylananing uzunligini toping. Yechilishi: x' va y larni topamiz:
dx = -a sin tdt va dy = a cos tdt.
V2 2 22 2 I 2 2
a sin t + a cos t = a V sin t + cos tdt = adt.
2,4.
2
2 2 2
№57. х + y = R aylana yoyining koordinatalar tekisligidagi birinchi chorakda yotgan qismi uzunligini toping.
3§. Aylanish jismini hajmi
y = f (x) formula bilan berilgan AB egri chiziqning [a, b] kesmada OX o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmini topish talab qilinsin.
Aylanish jismini OX ga perpendikulyar tekislikdar bilan n ta bo’laklarga ajratamiz. Perpendikulyar tekisliklarning biri 0 nuqtadan a masofada, ikkinchi tekislik x masofada, keyingisi esa x + h masofada bo’lsin. Bunda, h - orttirma bo’lib, h = dxdir. U holda, jismning birinchi ikki tekislik bilan kesilgan qismining hajmi v(x), undan keyingi qismining hajmi esa v(x)+Av(x) dan iborat bo’ladi.
Birinchi silindrsimon jismning balandligi h = dx, asos radiusi У = f (x); ikinchisining balandligi ham h = dx, asos radiusi У + Ay. U holda, birinchi jism
hajmi Try2dx, ikkinchisiniki esa тт(у + Ay)2dx bo’ladi. Ikki silindr orasidagi Av orttirma hajm 2Ty-Aydan iborat bo’ladi. Ammo Av hajm Ay ^0 va h ^ 0da cheksiz kichik miqdor bo’lib, 0ga intiladi. Shuning uchun hajmning differensiali kichik silindrsimon jismning hajmi rcy2dx bo’ladi. Buni integrallaymiz:
b b
v = | Ty2 dx = Trj (f (x))2 dx. (1)
a a
(1) tenglik aylanish jismining hajmini topish formulasidan iborat.
1-misol. Asos radiusi MN = r va balandligi ON = h bo’lgan aylanish paraboloidi segmentining hajmini toping.
Yechilishi: Ma’lumki, parabola tenglamasi y2 = 2px bo’lib, parabolaning
ixtiyoriy N(h; r) nuqtadan o’tishini e’tiborga olsak.
r2 = 2 ph. (2)
Parabola tenglamasi va (2) dan y = ^Jh ' (3)