|
Anıqlama. Eger (2) kvadraturalıq formula m-darejeli qálegen alegebralıq kóp aǵzalar ushın anıq bolıp, f ( x ) = ushın anıq bolmasa, ol jaǵdayda onıń algebralıq anıqlıq dárejesi m ǵa teń dep ataladı.
Interpolyatsion kvadraturalıq formula
Meyli, [ a,b] aralıqta ózi hám n + 1 tartipke shekemgi tuwındıları úziliksiz bolǵan f(x) funksiyadan p(x) > 0 awırliq funksiya menen alınǵan integraldı juwıq esaplaw lazım bolsın. Bunıń ushın [a,b] ǵa tiyisli hám hár túrli bolǵan , k = 0,l,...n túyin noqatlar alıp f(x) funksiyanıń n-tartipli Lagranj interpolyatsion kópaǵzaları dúzemiz yaǵniy:
(3)
bul jerde,
- Lagranj interpolyatsion kópaǵzasınıń qaldıq aǵzası. (3) teńliktiń eki tárepi p(x) awırlıq funksiyaǵa kóbeytip, [ a,b] aralıq boyınsha integrallasaq, tómendegini alamız
Eger interpolyatsiyalaw jeterlishe jaqsı ótkerilgen bolsa,
Úshınshi muǵdardaǵı onnan alınǵan integraldıń mánisi da kishkene dep taslap jibersek,
(4)
kvadraturalıq formulaǵa iye bolamız Bunda
Joqarıda kórsetilgen tártipte payda etilgen (4) formula, ádettegi, interpolyatsion kvadraturalıq formula dep ataladı hám onıń algebralıq anıqlıq dárejesi n ǵa teń. Onıń qaldıq aǵzası
kóriniske iye boladı. Bunda
Eń ápiwayı kvadraturalıq formulalar menen tanısamız. Bul jerde
orta tuwrı tórtmúyeshlikler formulası.
Onıń qaldıq aǵzası
Dı tabıw ushın f(x) dı da ekinshi tártipli úzliksiz aǵzaǵa iye dep alamız. Onda Teylor formulasına kóre:
bul jerde .
Bul teńliklerdıń hár eki tárepi a dan b ǵa shekem integrallasaq,
(5)
Kelip shıǵadı, sebebi
Integral astındaǵı funksiya óz baǵdarın saqlaydı, Sonıń ushın (5) integralǵa ulıwmalastırılǵan orta mánisi haqqındaǵı teoremanı qollaw múmkin:
(6)
bunda úzliksiz.
Endi (6)
(7)
kóriniske iye boladı.
Qaldıq aǵzasınıń bahalanıwı: .
trapertsiya formulası,
[ a,b] aralıqda bolǵanlıǵı ushın ortasha mánis haqqında ulıwmalasqan teoremanı qollansaq,
(8)
boladı, bunda .
Qaldıq aǵzasınıń bahalanıwı: .
Simpson kvadraturalıqformulası.
Onıń qaldıq aǵzası:
Qaldıq aǵzasınıń bahalanıwı:
Eger kesindini n aǵzaǵa bóleklerge bóliw nátiyjesinde payda etilgen aralıqqa mas keliwshi integraldı alsaq ol iymek sızıqlı trapetsiyanıń aralıqqa sáykes keliwshi bólekleriniń maydannan ibarat ekenligi hám onıń juwıq mánisi sıpatında
Mánisin qabıl qılıw múmkinligi málim. Bul jerde , kesindiden alinǵan qálegen noqat. Bunnan
(9)
integraldı juwıq esaplaw formulasına iye bolamiz. Bul integraldi juwıq esaplawda tuwrı tórtmúyeshlik usılınan paydalanamız.
2-súwret
Eger dep alınsa bolıp (9) dan
(10)
shep tuwrı tórtmúyushlikler , eger dep alınsa bolıp, (9) dan
(11)
Oń tuwrı tórtmúyeshlikler formulalarına iye bolamız ,bul jerde
yi=f(xi), (i =0,1,2,…,n).
Eger kesindiden n aǵzanı teń bóleklerge bólsek qádemler birdey bolıp, (7.3) va (7.3) lerden
Kórinisdegi tuwrı tórtmúyeshlikler formulalarǵa iye bolamiz, h integrallaw qádemi dep júritiledi.
a) Tuwrı tórtmúyeshlikler formulası ushın qátelikler tómendegishe:
3. SATS lardı shеshiwdiń ápiwayı itеraciyalar usılı mеnеn Zеydеl usılınıń arasındaǵı baylanıslar.
Zeydel usılınıń jaqınlasıw shárt ápiwayı iteratsiya usılı shártiga sáykes keledi. Lekin bul 2 usıldıń tarawı bir-birine ústpe-úst kelebermeydi. Sonıń ushın kópshilik jaǵdaylarda Zeydel usılın ápiwayı iteratsiya usılı menen salıstırǵanda tezirek jaqınlasıwshı bolatuǵın halları kóp ushraydı. Lekin birpara arnawlıu jaǵdaylarda Zeydel usılı jaqınlasıwshı bolmay, ápiwayı iteratsiya usılı jaqınlasıwshı bolıw halları da ushraydı.
Ápiwayı iteratsiya usılıń esaplaw algoritmı sıyaqlı Zeydel usılınıń esaplaw algoritmın da matricalıq kóriniste jazıw múmkin.
2 matritsa jıyındısı kóriniste boladı.
Bul jerde L-bas dioganali nolge teńbo'lgan tómengi, Ol bas dioganali nolge teń bolǵan joqarı úshmúyeshlik matritsalar
( 3)
Sonda (2) chini tómendegishe jazıw múmkin.
(4)
Bunnan
(5)
(5) den paydalanıp tómendegi iteratsion processni jazıw múmkin.
Yamasa
(6)
matritsasiniıń determinanti nolge teń bolmawi ushın mudami bar (6 ) formula Zeydel usılınıń matritsaviy kórinisinde jazılǵan formulası boladı. Bul formulanı
(7)
Teńlemesin sheshiwde ápiwayı iteratsiyalar usılı qollanılǵanda kelip shıqqan formula dep esaplaw múmkin. Basqasha aytqanda egerde berilgen teńleme oǵan teń kúshli bolǵan (7) menen almastırilganda (7) formulaǵa qollanılǵan ápiwayı iteratsiyalar usılı Zeydel usılına alıp keledi. Bunnan tısqarı Zeydel usılınıń jaqınlashuvchi bolıw shártleri ápiwayı iteratsiya usılınıń jaqınlashuvchi bolıwınıń jetkilikli shártlerine jaqın boladı.
Bul jerde hám belgilewleri (2) dagi matritsaning birinshi v ekinshi normalarini belgilehlari boladı. Lekin ápiwayı iteratsiya hám Zeydel usılların jaqınlashuvchi tarawı bir-birine ústpe úst kelmeydi. Usınıń sebepinen kóbinese Zeydel usılı ápiwayı iteratsiyalar usılı menen salıstırǵanda jedel jaqınlashuvchi boladı. Lekin birpara arnawlı jaǵdaylarda Zeydel usılına jaqınlashuvchi bolmay ápiwayı iteratsiyalar usılı jaqınlashuvchi bolıwı halları da ushraydı.
4.Birinshi tártipli á.d.t. lar ushın qоyılǵan Kоshi másеlеsin Rungе-Kutta usılı mеnеn shеshiw.Usıldıń еsaplaw algоritmi. Adımnıń uzınlıǵın anıqlaw, qátеligin bahalaw.
Do'stlaringiz bilan baham: |
