Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

3-таъриф. акслантиришга да функционал дейилади, бу ерда комплекс сонлар майдони.
функционалнинг функциядаги қиймати билан белгиланади.
Таърифга асосан комплекс сон.
4-таъриф. Чизиқли, узлуксиз функционалга умумлашган функция дейилади.
Диракнинг дельта-функцияси учун қуйидагилар ўринли
(5.3)
(5.4)
(5.5)
. (5.6)
Ихтиёрий узлуксиз ва функциялар учун уларнинг (свёрткаси) қуйидагича топилади:

Қуйидаги формула Фурьенинг тўғри алмаштиришлари

Фурьенинг тескари алмаштиришлари

Иккита функциянинг свёрткасининг Фурье алмаштирилиши уларнинг Фурье алмаштирилишлари кўпайтмасига тенг яъни

Иккита функциянинг кўпайтмасининг Фурье алмаштириши, уларнинг Фурье алмаштиришларининг свёрткасига тенг

Диракнинг дельта-функциясининг Фурье алмаштириши қуйидагича

Энди биз юқоридаги маълумотлардан фойдаланган ҳолда дискрет операторни қурамиз
1-теорема. дифференциал операторнинг (5.1) тенгликни қаноатлантирувчи дискрет аналоги қуйидаги кўринишда бўлади:

бу ерда -кичик параметр,
Исбот: Биз умумлашган функциялар назарияси ва Фурье алмаштиришларига асосан, дискрет функция ўрнига бороношаклли функциядан фойдаланамиз. Биз қуйидаги тенгламани қараймиз

бу ерда ва лар ва дискрет аргументли функцияларга мос бороношаклли функциялар, Диракнинг дельта функцияси. Маълумки бороношаклли функциялар синфи билан дискрет аргументли функциялар синфи ўзаро изоморфдир. (5.14) тенгламанинг чап ва ўнг томонига Фурье алмаштиришини қўллаймиз, у ҳолда (5.10) ва (5.11) формулаларни инобатга олиб қуйидагини ҳосил қиламиз


бундан эса

Энди (5.11), (5.3)-(5.4) ва (5.6) формулалардан фойдаланиб ни ҳисоблаймиз.

(5.5) тенгликдан фойдаланиб (5.1) тенгламани қуйидагича ёзиб оламиз

(5.10) ва (5.11) тенгликлардан фойдаланиб

(5.15) ва (5.16) формулалардан фойдаланиб қуйидагига эга бўламиз



бу ерда

функциянинг Фурье қатори қуйидаги кўринишга эга бўлсин

Бу ерда , функциянинг Фурье коеффициенти. Яъни,

(5.18) тенгликка тескари Фурье алмаштиришини қўллаб бороношаклли функцияни оламиз

Демак, бороношаклли функцияларнинг та`рифига кўра, дискрет функция дискрет аргументли функциядир. функцияни топиш учун биз (5.19) формуладан фойдаланмаймиз, биз (5.17) формуладаги чексиз қаторни ҳисоблаш учун қолдиқлар назарясидаги маълум формуладан фойдаланамиз. Яъни,

бу ерда лар функциянинг қутблари.
Демак

бу ерда нуқталар функциянинг 2-тартибли қутблари. У ҳолда (5.20) формуладан фойдаланиб (5.14) ни қуйидагича ёзиб оламиз


ушбу белгилашни ва комплекс сонлар учун Эйлер формуласини инобатга олиб

бундан эса қуйидагига

эга бўламиз (5.15) тенгликдан фойдаланиб,


Бу ердан қуйидагини оламиз.

Шуни билан теорема исботланди.
Энди биз дискрет операторнинг хоссалари билан шуғулланамиз, қуйидаги ўринли.