kopaytma ozgarmaydi.
7- misol. 3(52) ifodaning qiymatini turli usullar bilan
toping.
Y e c h i s h. Quyidagi hollardan biri bolishi mumkin:
1- usul. 3(52) = 310 = 30;
2- usul. 3(52) = (35)2 = 152 = 30;
3- usul. 3(52) = (32)5 = 65 = 30.
6- qonun. Kopaytirishning monotonligi:
(
"
a, b, c Î N, c ¹ 0);
a > b
⇒
ac > bc;
(
"
a, b, c Î N);
a ³ b
⇒
ac ³ bc;
(
"
a, b, c Î N, c ¹ 0);
a < b
⇒
ac < bc boladi.
I s b o t. Jumlalarning birinchisini isbotlaymiz.
a > b
⇒
B ~ A
1
Ì A,
bunda, n(A) = a, n(B) = b, A ¹ Æ, B ¹ Æ. U holda,
B´C ~ (A
1
´C) Ì (A´C).
Demak, n(B´C) = n(A
1
´C) < n(A´C)
⇒
bc < ac.
7- qonun. Kopaytmaning qisqaruvchanligi: (
"
a, b, c Î N,
c ¹ 0) ac = bc
⇒
a = b boladi.
I s b o t. Teskarisini faraz qilaylik: a ¹ b bolsin. U holda
a < b yoki a > b bolishi kerak. a < b bolsa, ac < bc bolishi
kerak, bu esa shartga zid. Demak, a = b ekan.
8- qonun. Har qanday sonni ikki xonali songa kopaytirish
uchun, bu sonni avval birlar xonasidagi songa, songra onlar
xonasidagi songa kopaytirib, hosil bolgan kopaytmalar qo-
shiladi, bunda onliklar xonasidan hosil bolgan kopaytma bir
xona chapga surilib yoziladi.
9- qonun. Har qanday sonni uch xonali songa kopaytirish
uchun bu sonni birliklar, onliklar, yuzliklar xonasidagi har bir
raqamga ketma-ket kopaytirib, hosil bolgan kopaytmalar
qoshiladi, bu yerda onliklar xonasidagi raqamlar bir xona,
yuzliklar xonasidagi raqamlar ikki xona chapga surilib yoziladi.
5 E. Jumayev
66
Mashqlar
1. a) Amallarni bajaring:
1315 =
;
1108 =
;
1625 =
.
Xulosa qil: 1a = a rostmi?
b) 3151, 1081, 6251 manoga egami?
Xulosa qil: a1 = ?
d) 0139 =
;
0605 =
;
0783 =
.
Xulosa qil: 0a = ?
e) 1390, 6050, 7830 manoga egami?
Xulosa qil: a0 = 0.
f) 0392 =
;
6780 =
;
00 =
;
10 =
.
2. 1208 va 306 sonlar ayirmasiga 907 va 1352 sonlarning
yigindisini qoshing va 1348 va 524 sonlarning yigindisidan
1140 va 607 sonlarning ayirmasini ayiring.
3. Sonni 10, 100, 1000, ... ga kopaytirish uchun bu sonning
ong tomoniga 1 ta nol, 2 ta nol, 3 ta nol, .... nol yozish
kerak. Xulosa togrimi?
4. Kopaytmani hisoblang va sonni oqing:
a) 6510000 =
;
d) 6701000 =
;
b) 69001000 =
;
e) 10500000 =
.
5. 6 ni ketma-ket besh marta yozing. Hosil bolgan sonni oqing;
50 sonini ketma-ket uch marta yozing. Qanday son hosil
boldi?
agar 168 sonini tort marta ketma-ket yozsak, qanday son
hosil boladi?
1208 va 306 sonlarning ayirmasiga 907 va 1352 sonlarning
yigindisini qoshing;
1348 va 524 sonlarning yigindisidan 1140 va 607 sonlarning
ayirmasini ayiring.
6. Taqsimot qonunlaridan foydalanib, quyidagi ifodalarning
qiymatlarini toping:
a) 93 + 987 =
;
d) 1712 - 177 =
;
b) 5(12 + 44) =
;
e) 2978 =
.
67
7. Ifodalarning qiymatlarini eng sodda usullar bilan toping,
bunda almashtirishlardagi har bir qadamni asoslang:
a) 41725 =
;
e) (4073)25 =
;
b) (8379)125 =
;
f)12624+1266+12610= ;
d) 2419255 =
;
g) 61101 =
.
8. Misollarni yeching:
a) 1687 =
;
b) 8561 =
;
d) 11 =
.
9. Tenglamani yeching:
a) 137x = 137;
b) x743 = 743.
10. Rasmga kora amallarni bajaring:
a) +20 b) +200 d) +2000
886
886
886
887
887
887
888
888
888
889
889
889
e) -20 f) -200 g) -2000
2722
2722
2722
2721
2721
2721
2720
2720
2720
2719
2719
2719
11. AB kesma otkazing va unda C va D nuqtalarni belgilang.
Chizmada nechta kesma hosil boldi?
12. 4
«A»
-sinfda 25, 4
«B»
-sinfda 30, 4
«G»
-sinfda 31 ta oquvchi
oqiydi. Har uchalasida 57 ta qiz bolalar oqiydi. Tortinchi
sinfda nechta ogil bolalar oqiydi?
13. Rasmdan foydalanib masala tuzing:
A
B
D
C
x
1305
+500
900
+1100
68
14. Amallarni bajaring va xulosa chiqaring:
a) 610 = 106;
d) 3100 = 1003.
b) 51000 = 10005;
15. Ifodaning qiymatini toping:
a) 16310;
f) 20089;
b) 100816;
g) 61210000;
d) 600100;
h) 36010;
e) 861000;
i) 601000.
16. Agar 168 sonini tort marta ketma-ket yozsak, qanday son
hosil boladi?
17. Maktabdan avtobus bekatigacha 460 m, bekatdan bog-
chagacha 700 m. Maktabdan bekatgacha bolgan masofa
maktabdan bogchagacha bolgan masofadan qancha kam?
17- §. SONNI DARAJA KORINISHIDA
YOZISH
3333 kopaytmani 3
4
deb yozish mumkin.
Bu uchning tortinchi darajasi deb oqiladi, bunda 3 soni
asos, 4 esa daraja korsatkichi deb qabul qilingan.
Umuman, 3333 = 3
4
= 81.
3
4
= 3333 = 81.
3 soni 4 marta oz-oziga kopaytiriladi.
1- misol. Quyidagi tengliklar togrimi?
2
3
= 222 = 8;
4
2
= 44 = 16;
1
4
= 1111 = 1;
25
2
= 2525 = 625;
36
3
= 363636 = 46656;
3
2
= 33 = 9.
a
2
degan soz, a ni a ga kopaytirish, a
3
esa a ni a ga ketma-
ket uch marta kopaytirish demakdir. 1- misoldan 2
3
= 8 va
3
2
= 9. Bundan 2
3
¹ 3
2
ekanligi kelib chiqadi.
2- misol. (2
2
)
3
= 2
(23)
tenglikning togriligini tekshiring.
Y e c h i s h. (2
2
)
3
= 4
3
= 444 = 64 va 2
(23)
= 2
6
= 222 ´
´ 222 = 64 . Bundan (2
2
)
3
= 2
(23)
kelib chiqadi.
3- misol. x = 2 da x
3
ning qiymatini toping.
Y e c h i s h. x ning orniga 2 ni qoyib, x
3
= 2
3
= 8 topiladi.
Har qanday a soni uchun a
1
= a. Masalan, 9
1
= 9 yoki
27
1
= 27.
69
Nolning har qanday darajasi yana nol boladi, masalan:
0
2
= 00 = 0 yoki 0
5
= 00000 = 0.
Har qanday sonning nolinchi darajasi 1 ga teng. 2
0
= 1,
5
0
= 1, 10
0
= 1.
Mashqlar
1. Quyidagilarni yodda tutishga harakat qiling:
0
2
= 0;
1
2
= 1;
2
2
= 4;
3
2
= 9;
4
2
= 16;
5
2
= 25;
6
2
= 36;
7
2
= 49;
8
2
= 64;
9
2
= 81;
10
2
= 100;
11
2
= 121;
12
2
= 144;
13
2
= 169;
1
3
= 1;
2
3
= 8;
3
3
= 27;
4
3
= 64;
5
3
= 125;
1
4
= 1;
2
4
= 16;
3
4
= 81;
2
5
= 32;
2
6
= 64.
2. Hisoblang:
3
3
=
;
10
3
=
;
5
2
=
;
8
2
=
;
5
0
= ;
10
0
=
;
1
9
=
;
10
2
=
;
2
4
=
;
10
4
=
;
2
5
=
;
10
6
=
;
1
5
=
;
10
1
=
;
6
3
=
;
0
8
=
;
10
5
=
;
0
4
=
;
x = 2 da x
6
ni toping;
b = 8 da b
3
ni toping.
3. Kvadratning perimetri 28 sm. Uning tomoni nimaga teng?
4. Peshingacha 45 yashik olma sotildi, peshindan song 5 marta
kam yashik olma sotildi. Peshindan keyin qancha olma
sotilgan?
5. 10 sonining darajalari haqida nimalarni bilasiz?
10
0
= 1 ---------------------------------------Bir
10
1
= 10 --------------------------------------On
10
2
= 1010 = 100 ---------------------------Bitta yuz
10
3
= 101010 = 1000 ----------------------Bitta ming
10
4
= 10101010 = 10 000 ----------------Onta ming
10
5
= 1010101010 = 100 000 -----------Bitta yuz ming
10
6
= 101010101010 = 1 000 000 -------Bitta million
6. Quyidagilarni yodda tutishga harakat qiling:
a) 1210
3
= 12000
chunki
121000 = 12000;
b) 27510
4
= 2750000 chunki
27510000 = 2750000;
70
d) 480610
2
= 480600 chunki
4806100 = 480600;
e) 9310
5
= 9300000
chunki
93100000 = 9300000;
f) 1004 = 4100 = 400;
i) 10006 = 6000;
g) 10
3
5 = 5000;
j) 1007 = 17 = 7.
h) 100001000 = 10 000 000;
7. Bilasizmi?
a) 102 =
; i) 210 =
; p) 1035 =
;
b) 35100 =
; j) 100027=
; q) 510000=
;
d) 10
2
4 =
; k) 10
3
7 =
; r) 10010 =
;
e) 100100=
; l) 1010 =
; s) 10001000= ;
f) 10
5
7 =
; m) 10
0
8 =
; t) 810
2
=
;
g) 510
3
=
; n) 710 =
; u) 910
0
=
.
h) 100084=
; o) 7510000= ;
8. Topa olasizmi?
a) 103 =
; h) 1810
5
=
; n) 1046 =
;
b) 10
3
247=
; i) 10048 =
; o)1610
0
=
;
d) 10
3
4 =
; j) 101000 =
; p) 10100 =
;
e) 150010
3
= ; k) 1001000= ; q)1000023 =
;
f) 10
4
8 =
; l) 10
0
3100=
; r) 710 =
;
g) 8710
5
=
; m) 9310 =
; s) 1510000 = .
9. Qanday ikki sonning yigindisi ularning har biriga teng?
10. 20 va 30 orasidagi juft sonlarni yozing.
18- §. BOLISH
1- misol. 8 ta apelsinni har biriga 2 tadan qilib likopchalarga
qoyib chiqishdi. Apelsinni 2 tadan qilib necha marta qoyishdi?
Nechta likopcha kerak boladi?
Y e c h i s h. 8 ta elementga ega toplam berilgan bolsin. Bu
toplamning har birida 2 tadan element bolgan qism toplam-
larga, yani juft-jufti bilan kesishmaydigan teng quvvatli 4 ta
toplamlarga ajratish mumkin. Shunday qilib, javobda hosil
qilingan 4 soni asosan 8 ta elementdan iborat toplam bolingan
ikki elementli qism toplamlar sonidir.
2- misol. 12 ta qalamni 3 oquvchiga baravar tarqatishdi.
Har bir oquvchi nechtadan qalam oladi?
71
Y e c h i s h. Misol bolish bilan yechiladi: 12 : 3 = 4 (qalam).
4 soni 12 ta elementdan iborat toplam bolingan teng quvvatli
kesishmaydigan har bir uchta qism toplamdagi elementlar soni
sifatida qatnashmoqda.
Bolinadigan raqamni bolinuvchi, boladigan raqamni
boluvchi deyiladi. Agar bolinuvchi boluvchiga aniq bolinmasa,
bolishdan qolgan qismi qoldiq deyiladi.
12 : 3 = 4 va 12 : 4 = 3 holda ham bolinuvchi 12. Lekin
12 : 3 = 4 da bolinma 4, boluvchi esa 3 va 12 : 4 = 3 da
bolinma 3, boluvchi esa 4 sonidir.
Bolishda qoldiq qolmasa (qoldiq nol bolsa), boluvchi va
bolinma koeffitsiyentlar deyish mumkin.
Tarif. a = n(A) va A toplam juft-jufti bilan kesishmay-
digan teng quvvatli qism toplamlarga ajratilgan bolsin. Agar b
soni A toplamni bolishdagi qism toplamlar soni bolsa, u
holda har bir qism toplamdagi elementlar soniga a va b
sonlarning bolinmasi deb aytiladi.
Bolish tarifiga kora, bolishga oid masalalar ikki turga
ajraladi: mazmuniga kora, bolish va teng qismlarga ajratish.
1- turga oid masala. 48 ta qalam 6 ta qutichaga barobardan
solingan bolsa, har bir qutichaga nechtadan qalam solingan?
2- turga oid masala. 48 ta qalam 6 tadan qilib qutichalarga
solingan bolsa, nechta quticha kerak boladi?
Bolish takror ayirish sifatida ham qaralishi mumkin.
14 - 7 degani, 14 dan bir marta 7 ni ayirish (7 - 7 = 0) va
ikkinchi marta 7 ni ayirish demakdir.
14 : 7 = 2. (Tekshirish: 27 = 14).
Xulosa qilib aytganda, butun nomanfiy a soni bilan b natural
sonning bolinmasi deb, b son bilan kopaytmasi a ga teng
boladigan c = a : b soniga aytiladi. Teskari boglanishning mav-
judligini ham korsatish mumkin, yani bolinmaning uchinchi
tarifidan birinchi tarifi kelib chiqishini korsatish mumkin:
a : b = c, bundan a = cb.
Demak, uchunchi holda bolinma kopaytma orqali tarif-
landi. Shuning uchun bolish kopaytirishga teskari amal deb
aytiladi. a va b natural sonlarning bolinmasi har doim ham
mavjud boladimi?
a va b natural sonlarning bolinmasi mavjud bolsin, yani
a = cb. Ixtiyoriy c natural son uchun 1 > c davo orinli. Bu
72
tengsizlikning ikkala qismi b natural songa kopaytiramiz,
b > cb ga ega bolamiz. cb = a bolgani uchun b > a boladi.
Agar a = 0 va b = 0 bolsa, u holda bunday a va b sonlarning
bolinmasi mavjud, degan jumladan c ning ixtiyoriy qiymatida
orinli boladigan 0 = c0 tenglik kelib chiqadi, yani a = 0 va
b = 0 sonlarning bolinmasi har qanday son bolishi mumkin.
Shuning uchun matematikada nolni nolga bolish mumkin emas
deb hisoblanadi.
3- misol. 644 sonini 92 ga boling .
Y e c h i s h. Aslida 921 = 92, 922 = 184, 923 = 276,
924 = 368, 925 = 460, 926 = 552, 927 = 644 tekshirishlar
koz oldimizdan otadi. Taxminan javobni tezroq topish imkoni
bor, yani 644 soni taxminan 630, 92 esa taxminan 90; 630 : 90 = 7
bolgani uchun tekshirishni birdaniga 7 sonidan boshlash mumkin
edi. Bu usul har doim ham qol kelavermaydi. Chunki 644 : 92
ni 600 : 100 = 6 deb yozish mumkin edi.
Mashqlar
1. Hisoblang:
a) 345227 =
; h) 508045 =
; m) 800685 = ;
b) 2028456 = ; i) 5005689 =
; n) 9023654 = ;
d) 453284 =
; j) 406289 =
; o) 320796 =
;
e) 560637 =
; k) 8206537 =
; p) 33018637= .
f) 50384794= ; l) 897656789 = ;
g) 869411694 = ;
2. Tenglikni oqing va uning manosini tushuntiring:
a) ab = ba;
b) (ab)c = a(bc).
3. Kopaytirishning orin almashtirish va taqsimot qonunidan
foydalanib, masalaning yechimini tushuntiring:
70030 = (1007)(103) = (710) = 211000 = 21000.
4. Kopaytirishni bajaring:
a) 356
204
×
;
b)
1786
302
×
;
d) 705
206
×
;
e)
3804
406
×
;
f)
9067
504
×
;
g)
95046
3007
×
;
h)
60058
9005
×
;
i)
750009
30007
×
;
73
j) 2500376 12000507
92003154
3007855;
k) 5003751
2000799
50007008
95007893
89605600
380007800;
l) 102
210
1035
35100
100027
510000
1024
1037
10010
100100
1010
10001000
1057
1008
8102
5103
710
9100
100084
7510000.
5. Sonni oz-oziga bolishda bir hosil boladi.
Sonni birga bolsak yana shu son hosil boladi.
a) 0 : 507 =
;
b) 0 : 862 =
; d) 0 : 619 =
;
Nimani fahmlading? Xulosa qil. 0 : a = .
a) 2001 : 0 = ;
b) 604 : 0 =
; d) 603 : 0 =
;
Nimani fahmlading? Xulosa qil. a : 0 = .
6. Agar amallarni togri bajarib, natijalarni osib borish tartibida
yozsangiz, ozbek xalqining sevimli shoirlaridan birining ismi
sharifini topasiz:
b 450 : 5 =
;
A 924 : 3 =
;
l 480 : 8 =
;
o 540 : 90 =
;
d 640 : 8 =
;
a 650 : 50 =
;
o 900 : 90 = ;
v 400 : 80=
;
b 540 : 90 =
;
i 640 : 80 =
;
u 490 : 7 =
;
p 490 : 70=
.
r 810 : 90 = ;
e 450 : 9 =
;
7. Daraxtning balandligi 10 m. Shilliq qurt har kuni 3 m
yuqoriga va kechasi 2 m pastga tushadi. Shilliq qurt necha
kunda daraxtning uchiga chiqadi?
8. Yulduzchalar orniga kerakli amalni qoying:
a) 270 * 30 * 200 = 40;
d) 270 * 30 * 200 = 100;
b) 270 * 30 * 200 = 209;
e) 270 * 30 * 200 = 500.
19- §. «... MARTA KATTA» VA «... MARTA KICHIK»
MUNOSABATLARI. YIGINDINI SONGA VA SONNI
KOPAYTMAGA BOLISH QOIDALARI
Bir son ikkinchi sondan necha marta katta yoki kichik,
degan savol masalalar yechishda va amaliy faoliyatda har qadam-
da uchraydi. «... marta katta» va «... marta kichik» munosabatlari
bilan dastlabki tanishish boshlangich maktabda yuz beradi.
74
1- tarif. Agar a = n(A), b = n(B), a > b boladigan a va
b sonlar berilgan va A toplamni B toplamga teng quvvatli c
ta qism toplamga ajratish mumkin bolsa, a soni b sonidan
c marta katta, b soni esa a sonidan c marta kichik, deb ay-
tiladi.
Ammo bu c sonining ozi nimani ifodalaydi? Nazariy
toplamlar nuqtayi nazaridan bu a va b sonlarining bolinmasidir.
Bundan quyidagi qoida hosil boladi:
Qoida. Bir son ikkinchi sondan necha marta katta yoki kichik
ekanligini bilish uchun katta sonni kichik songa bolish zarur.
1- misol. 3 tup olma va 12 tup olcha otqazildi. Olchalardan
necha marta kam olma otqazildi?
Y e c h i s h. Yuqoridagi qoidada qoyilgan savolga bolish
yordamida javob topiladi, yani 12 : 3 = 4 (marta). «.. marta
kop» va «.. marta kam» munosabatlar boshqa korinishdagi
masalalarda ham uchraydi.
2- misol. Zulfiyada 6 ta daftar, Ranoda esa undan 2 marta
kam daftar bor. Ranoda nechta daftar bor?
Y e c h i s h. Zulfiyadagi daftarlar toplami A, Ranodagi
daftarlar toplami B bolsin. n(A) = 6 ekani malum. n(B) sonni
topish talab etilgan. Bu shartdan kelib chiqib, A toplamni teng
quvvatli ikkita qism toplam korinishida tasvirlash mumkin, u
holda B toplamda A toplamning har bir qism toplamida nechta
element bolsa, shuncha element boladi, bu son bolish bilan
topiladi, yani 6 : 2 = 3. Demak, n(B) = 3, yani, Ranoda 3 ta
daftar bor ekan.
3- misol. Bunyodda 3 ta daftar, Ismatulloda esa undan 4
marta kop daftar bor. Ismatulloda nechta daftar bor?
Y e c h i s h. Bu masalada ham oldingi masaladagi kabi ikkita
toplam, Bunyoddagi daftarlar toplami A va Ismatullodagi
daftarlar toplami B qaraladi. n(A) = 3 ekani malum. B
toplamdagi elementlar soni A toplamdagi elementlar sonidan
4 marta kop ekanini bilgan holda, n(B) ni topish talab etiladi.
Bu B toplam A toplamdagi teng quvvatli kesishmaydigan tortta
B
1
, B
2
, B
3
, B
4
qism toplamdan iborat ekanini anglatadi va,
demak, n(B
1
) = n(B
2
) = n(B
3
) = n(B
4
) = n(A). Bu holda B
toplamdagi elementlar sonini qoshish bilan topish mumkin:
n(B) = n(B
1
ÈB
2
ÈB
3
ÈB
4
) = n(B
1
) + n(B
2
) + n(B
Do'stlaringiz bilan baham: |