Эргодические свойства мер, порожденных одним классом квадратичных операторов

Keywords: quadratic operators, ergodic properties, families of functions.
Определим класс менделевских операторов и для этого класса операторов дадим конструкция мер, названных менделевскими. Пусть произвольное пространства с мерой. Рассмотрим пространство , где для всех натуральных . Одной из важных проблем как в теории меры, так и в теории вероятностей является задача построения меры P на Ω , согласованной с мерой на .
Для этого достаточно по теореме Колмогорова [1] задать согласованное семейство конечномерных распределений. Эта конструкция необходима для дальнейшего изложения, приведем ее для случая конечного множества .
Пусть и – вероятностная мера на , т.е. и Пусть где . Произвольный элемент множества Ω является бесконечной последовательностью элементов множества . Пусть -функция, ставящая в соответствие точке значения её координаты. Функцию называют координатной функцией. Пусть алгебра, порожденная совокупностью всех конечномерных цилиндров, т.е. множеств вида


где А- подмножества прямого произведения Эта алгебра порождается совокупностью всех “тонких” цилиндров, т.е. множеств вида

где элементы множества , т.е. цилиндрическое множества называется тонким, если его основание А является одноточечным подмножеством соответствующего конечного прямого произведения. В силу
этого замечания мера P на однозначно определяется своими значениями

на этих цилиндрах, где номер первой фиксированной координаты тонького цилиндра и - размерность цилиндра. По теореме Колморова [1], если для множества функций справедливы следуюшие условия согласования , и при всех k,n и то существует единственная вероятностная мера P на для которой имеет место. Кроме того, если при всех и то мера сохраняется при преобразовании сдвига.
Таким образом, основную сложность при построении меры P на составляет указание способа задания семейства функций и натуральные}.