Ergasheva f bmi

Fuksiyaning qavariqligi va botiqligi. f (x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lib bu intervaldan olingan x₁∈(a, )b , x₂∈(a, )b nuqtalar uchun x₁ < x₂ bo’lsin. Ravshanki, (x₁,x₂) ⊂ (a, )b _.

Endi f (x) funksiya grafigida A(x₁, f (x₁)), B(x₂, f (x₂)) nuqtalarni olaylik. Ma’lumki, bu A(x₁, f (x₁)), B(x₂, f (x₂)) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi quyidagi

y − f (x₁) ₌ x − x₁

f (x₂) − f (x₁) x₂ − x₁

ko’rinishga ega bo’ladi. Uni

x² − x + x − x¹ f (x₂) y = f (x₁)

x2 − x1 x2 − x1

kabi yozib olib, qulaylik uchun bu tenglamaning o’ng tomonini l(x) orqali belgilaylik

x² − x + x − x¹ f (x₂).

l(x) = f (x₁) x2 − x1 x2 − x1

Shu belgilashga ko’ra y=l(x) tenglama A(x₁, f (x₁)) va B(x₂, f (x₂)) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Bundan l(x₁) = f (x₁), l(x₂) = f (x₂) tengliklar kelib chiqadi

Ta’rif 1.23. Agar har qanday (x₁,x₂) ⊂ (a,b) olinganda ham ∀x∈(x₁,x₂) uchun

f (x) ≤ l(x) ( f (x) < l(x))

tengsizlik o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a,b) intervalda botiq (qatiy botiq) funksiya deb ataladi.

Ta’rif 1.24. Agar har qanday (x₁,x₂) ⊂ (a,b) olinganda ham ∀x∈(x₁,x₂) uchun

f (x) ≥ l(x) ( f (x) > l(x))

tengsizlik o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a,b) intervalda qavariq (qatiy qavariq) funksiya deb ataladi.

Funksiyaning egilish nuqtalari. Funksiya hosilasi yordamida uning egilish nuqtalarini topish mumkin. f (x) funksiya x₀ nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

U R, x₀ −δ< x < x₀} (δ> 0)

U R, x₀ < x < x₀ +δ} (δ> 0).

Ta’rif 1.25. Agar f (x) funksiya U_δ⁻(x₀) oraliqda botiq (qavariq) bo’lib,

U_δ⁺(x₀) oraliqda esa qavariq (botiq) bo’lsa, u holda x nuqta funksiyaning ₀

(funksiya grafigining) egilish nuqtasi deb ataladi.

f (x) funksiya U_δ(x₀) da ikkinchi tartibli f "(x) hosilaga ega bo’lsin. Agar

uchun f "(x) ≥ 0 (f "(x) ≤ 0), uchun f "(x) ≤ 0 (f "(x) ≥ 0)

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda U_δ⁻(x₀) da f '(x) o’suvchi (kamayuvchi), U_δ⁺(x₀) da f '(x) kamayuvchi (o’suvchi) bo’lib, f '(x) funksiya x₀ nuqtada ekstremumga erishadi. U holda x₀ nuqtada f "(x₀) = 0 bo’ladi.

Demak, f (x) funksiyaning egilish nuqtasida ikkinchi tartibli hosila f "(x) nolga teng bo’ladi.

Funksiya grafigining asimptotallari. f (x) funksiya a∈R nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.

Ta’rif 1.26. Agar ushbu

lim f (x), lim f (x) x→a+0 x→a−0

limitlardan biri yoki ikkalasi cheksiz bo’lsa, u holda x=a to’g’ri chiziq f (x) funksiya grafigining vertikal asimptotasi deb ataladi.

Ta’rif 1.27. Agar shunday o’zgarmas k va b sonlar mavjud bo’lsaki, x →+∞ da f (x) funksiya ushbu

f (x) = kx + b +α(x)

ko’rinishda ifodalansa ( lim α(x) = 0), u holda y = kx + b to’g’ri chiziq f (x)

x→+∞

funksiyaning grafigining og’ma asimptotasi deb ataladi.

Xulosa

Mazkur bitiruv malakaviy ishi Maple tizimida elementar funksiyalarni tekshirishning algoritmlari va dasturiy vositalarini ishlab chiqishga bag’ishlangan.

Shu sababli ushbu ishda har xil elementar funksiyalarning xossalarini o’rganish maqsadida ularni tekshirishga oid bir nechta misollar qaraldi va ulardan quyidagi natijalar olindi:

I. f (x) = x³ −1,5x² − 6x +1 funksiya quyidagi tasdiqlar o’rinli:

1.1. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi D( f ) = (−∞,+∞) to’plamdan iborat, ya’ni

R = (−∞,+∞) da uzluksiz;

1.2. Berilgan funksiya na juft va na toq funksiya;

1.3. Qaralayotgan funksiyaning ekstremumlari {-9; 4,5};

1.4. Berilgan funksiya (−∞,−1)∪(2,+∞) oraliqlarda o’suvchi, (1,2) oraliqda esa kamayuvchi;

1.5. Bu funksiya (−∞;0,5) oraliqda botiq, (0,5;+∞) oraliqda qavariq va х=0,5 nuqta esa f funksiya grafigining egilish nuqtasi bo'ladi;

1.6. Bu funksiya grafigi asimptotaga ega emas, bundan esa uning qiymatlar sohasi

R( f ) = (−∞,+∞) to’plamdan iborat;

1.7. Ushbu funksiya grafigi ilovalarda keltirilgan (qar. 2.1-chizma).

x² − x +1

II. y = funksiya quyidagi tasdiqlar o’rinli:

x −1

2.1. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi D( f ) = R \{1} = (−∞,1) ∪(1,+∞)

to’plamdan iborat;

2.2. Berilgan funksiya na juft va na toq funksiya;

2.3. Qaralayotgan funksiyaning ekstremumlari {-1;3};

2.4. Berilgan funksiya (−∞,0)∪(2,+∞) da o’suvchi, (0,1)∪(1,2) da esa kamayuvchi;

2.5. Bu funksiya (−∞;1) oraliqda botiq, (1;+∞) oraliqda qavariq bo'ladi;

2.6. Bu funksiya grafigining asimptotasi y = x to’g’ri chiziqdan iborat;

2.7. Ushbu funksiya grafigi ilovalarda keltirilgan (qar. 2.2-chizma).

g(x) = (3− x)e^x−2 ko’rsatkichli funksiyani tekshiring.

3.1. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi D(g) = (−∞,+∞) to’plamdan iborat, ya’ni

R = (−∞,+∞) da uzluksiz;

3.2. Berilgan funksiya na juft va na toq funksiya;

3.3. Qaralayotgan funksiyaning ekstremumlari – {1};

3.4. Berilgan funksiya (−∞,2) oraliqlarda o’suvchi, (2,+∞) oraliqda esa kamayuvchi;

3.5. Bu funksiya (−∞;1) oraliqda qavariq, (1;+∞) oraliqda botiq va х=1 nuqta esa g funksiya grafigining egilish nuqtasi bo'ladi;

3.6. Bu funksiya grafigi asimptotasi x →∞ da y = 0;

3.7. Ushbu funksiya grafigi ilovalarda keltirilgan (qar. 2.3-chizma).

Ishda olingan natijalar va unda qo’llanilgan usullardan elementar funksiya (ko’phad) larni tekshirishda hamda elementar matematikada har xil tipdagi tenglama va tengsizliklarni yechishda foydalanish mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   T. Azlarov, X. Mansurov. Matematik analiz. 1-qism. T. “O’qituvchi”. 1994.
   
2. 
   Sh. Alimov, R Ashurov. Matematik analiz. O’zMU. (Mexanika-matematika fakulteti talabalari uchun ma’ruzalar matni) 2005.
   
3. 
   В.А Зорич, Математический анализ. ч. 1. М, “Наука”. 1981.
   
4. 
   Sh. Alimov. Algebra va analiz asoslari. O’rta maktabning 10-11 sinfi uchun darslik. T. “O’qituvchi” 1996. 350 b.
   
5. 
   Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М 1990.
   
6. 
   С.М. Николский, Курс математического анализа. Т. 1. М.” Наука” 1973.
   
7. 
   Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. – 20-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1985. – 384 с.
   
8. 
   A.N. Kolmogorov va boshq. Algebra va analiz asoslari. O’rta maktabning 10-
   

11 sinfi uchun darslik. T. “O’qituvchi” 1994. 350 b.

9. 
   Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. Методы решения математических задач в Maple: Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, 2001. – 116 с.
   
10. 
    Дьяконов В. Maple 7: учебный курс - СПб.: Питер, 2002.
    
11. 
    Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики –
    

СПб.: БХВ – Петербург, 2001.

12. 
    С.А.Лактионов, М.И.Журавлева, С.Ф.Гаврикова. Построение графиков в пакете Maple: СибГИУ. –Новокузнецк, 2012. - 40 с.
    
13. 
    http://olo.looblogs.info/issledovanie-funkcij-maple.html http://maple.plusby.com/index.html