Элементы динамического программирования оптимизация непрерывных систем

С учетом этого, меняя τ на t, перепишем (14. 4) в виде

(14.5)

Допустим теперь, что функция J(t) имеет частные производные по всем координатам и по времени t. Тог­да, разлагая J*(t) в ряд Тейлора, имеем с точностью до бесконечно малых первого порядка:

(14.6)

(14.7)

Имея в виду (14.7), подставим (14.6) в (14.5). При этом

(14.8)

Принимая во внимание, что J*(t) и, следовательно, δJ*(t)/δt не зависит от (t), получаем

(14.9)

Полученное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных называют уравнением Беллмана. С помощью этого уравнения во многих случаях опти­мальные управления и траектории могут быть получены аналитически.

Заметим, что если функционал (14.1) не зависит явно от времени, т. е. δJ/δt=0, то требования для *(t), вытекающие из уравнения Беллмана для отыскания оптимального управления, совпадают с условиями прин­ципа максимума.

В самом деле, в этом случае уравнение (14.9) при­обретает вид

(14.10)

Выберем теперь вектор-функцию следующим об­разом:

(14.11)

Тогда функция Гамильтона запишется в виде

Поскольку

основное условие принципа максимума совпадает с (14.10).

Как вполне очевидно, эквивалентность уравнений ди­намического программирования и принципа максимума может иметь место, только если существуют частные производные от функционала J*, что является необхо­димым условием построения уравнения Беллмана (14.9). Поскольку предположение о существовании частных производных от J* справедливо далеко не всегда, об­ласть применения динамического программирования для оптимизации непрерывных систем значительно уже области применения принципа максимума.

Вместе с тем, нельзя не отметить, что метод динами­ческого программирования оказывается весьма эффек­тивным при решении дискретных оптимизационных за­дач.