"Elementar domen" uchun Ostrogradskiy-Gauss teoremasini tuzamiz va isbotlaylik

"Elementar domen" uchun Ostrogradskiy-Gauss teoremasini tuzamiz va isbotlaylik.

Ta'rif 10.7.1. Biz domenni G ⊂ R deb ataymiz

3

xyz

elementar bog'liq

o'qi Oz, agar uni shunday yozish mumkin bo'lsa

bu erda D - R tekisligidagi Iordaniyaning o'lchanadigan domeni

2018-04-01 121 2

xy

va funktsiyalar ϕ (x, y), ψ (x, y)

D ning yopilishida doimiydir.

S2 = {(x, y, z): z = ψ (x, y), (x, y) ∈ D} va

S1 = {(x, y, z): z = ϕ (x, y), (x, y) ∈ D} - qismli silliq, shuningdek qismli silliq

silindrsimon sirt S0 = {(x, y, z): (x, y) ∈ -D, ϕ (x, y) 6 deb taxmin qilamiz

z 6 ψ (x, y)}. Shunday qilib, G domenining DG = S chegarasi bo'lakcha silliq va

Bundan tashqari, domen chegarasi bo'lgan har qanday qismli silliq sirt kabi yo'naltirilgan. S sirtining silliq qismlarida uning tashqi normalari are

ularning yo'nalishlari. Ushbu yo'nalishlar tufayli S sirtining silliq qismlari izchil ravishda yo'naltirilgan va shuning uchun butun S yo'nalishini hosil qiladi.

Ushbu yo'nalish biz tanlagan sirtning har bir silliq qismi uchun olinadi

tirnoq printsipiga binoan uning chetiga yo'naltirilganligi, tashqi tomondan normal ν bilan mos keladigan qismi. Shu tarzda tanlangan yo'nalishlarga ega sirtlarni belgilaylik

navbati bilan S

+

, S

+

0

, S

+

bitta

, S

+

2018-04-01 121 2

... S1 yuzasi uchun bu erda ekanligini unutmang

yo'nalish

uning "pastki tomoni", va S2 yuzasi uchun

- uning "yuqori tomoni".

G domeni yuqorida sanab o'tilgan xususiyatlarga ega deb o'ylaymiz,

barcha koordinata o'qlariga nisbatan. Bunday mintaqalar boshlang'ich deb nomlanadi.

Cos a, cos β, cos By orqali biz birlikning yo'naltirilgan kosinuslarini belgilaymiz tashqi

S sirtining normalari ~ ν:

Teorema 10.7.1 (Ostrogradskiy - Gauss). G domenining yopilishi G ko'rsatilsin

P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) funktsiyalar yuqorida keltirilgan shaklda berilgan.

qisman hosilalari bo'lganlar

∂P

∂x

,

∂Q

.Y

,

.R

.Z

Keyin

Dalillar. Masalan, integralni ko'rib chiqing

Bo'lim boshida kiritilgan yozuvlarni hisobga olgan holda biz ushbu integralni o'zgartiramiz

quyida bayon qilinganidek

S

2018-04-01 121 2

S

bitta

S0 yuzasida cos ph = 0 ekanligini hisobga olsak, olamiz

Поэтому выражение

Z ZZ

∂R

∂z

dxdydz можно записать в виде

Ostrogradskii-Gauss formulasini yuqorida ko'rsatilganidan ko'ra ko'proq umumiy shakldagi G domenlari misolida ham isbotlash mumkin. Masalan, G domenlari uchun

G = bo'limi mavjud

L0 S

i = 1

Gi

cheklangan sonli elementar domenlarda Gi

... Uchun

Gi ning har bir boshlang'ich domeni uchun Ostrogradskii - Gauss formulasini yozish kifoya

va natijalarni qo'shing. Natija kerakli

G domeni uchun formulalar. Haqiqatan ham, formulaning chap tomonida, qo'shimcha moddalar tufayli

biz G domeni orqali kerakli uch karrali integralni olamiz, o'ng tomonda,

Gi domenlari chegaralari qismlari ustidagi integral integrallar

, ular birgalikda G domenining DG chegarasini tashkil etadi, qolgan integrallar birgalikda nolga teng bo'ladi,

Ikki domen chegaralari nuqtalaridagi tashqi normalar turli yo'nalishlarga yo'naltirilganligi sababli tegishli sirt integrallari faqat farq qiladi

tanish ✷

Ostrogradskiy-Gauss formulasi har birida amal qilishi isbotlanishi mumkin

chegaralangan G domeni, uning chegarasi sonli qismlardan iborat

silliq yuzalar.

Ostrogradskiy-Gauss formulasi sizga mos keladigan sirt integrali bo'yicha mintaqa hajmining ifodasini topishga imkon beradi. Darhaqiqat, qo'ying

P (x, y, z) = x, Q (x, y, z) = y, R (x, y, z) = z va hisobga olish

Z Z Z

G

dxdydz = V

G

- G maydonining hajmi, biz olamiz

Bizga ma'lumki, chiziqli m o'lchovli tizimning L echimlar to'plami

x ′ = A (t) x + f (t) (1)

butun o'qda aniqlangan Rm qiymatlari bilan uzluksiz funktsiyalarning C chiziqli fazosidagi m o'lchovli giperspace. Shuning uchun, umumiy holatdagi noyob echimni tanlash uchun, biz echimlar to'plamining m koeffitsientining ba'zi bir giperspace I bilan kesishishini, ya'ni m bo'shliqdagi m o'lchovli funktsional (m funktsionallar tizimi) darajasining to'plamini olishimiz mumkin. . (Umumiy holatning chiziqli bo'lmagan holatida, echimlar to'plami m -parametrik oiladir va bitta echimni tanlash uchun (ya'ni bitta parametrlar to'plamini tanlash uchun) ko'proq skaler algebraik tenglamalarni qo'shishimiz kerak). Masalan, Koshi muammosida biz bunday funktsiyani qabul qilamiz

F (x) = x (t0)

va yagona echim L ning kesishgan yagona nuqtasi va I = {x ∈ C: F (x) = x0} to'plamidir. Shubhasiz, kodim I = m. Tenglama (1) uchun eng oddiy ikki nuqtali chegara masalasida

x (t1) = a1, ..., xl (t1) = al, xl + 1 (t2) = al + 1, ..., xm (t2) = am

funktsional F shakli mavjud

F (x) = (x1 (t1), ..., xl (t1), xl + 1 (t2), ..., xm (t2)),

va I = {x ∈ C to'plami: F (x) = (a1, ..., am)} (uning m kodikali ham borligini ko'rish oson).

Yana bir keng tarqalgan muammo, F ning funktsional shaklini olish yo'li bilan olinadi

F (x) = x (t0) - x (t0 + T),

va men kabi, bu funktsionalning asosiy qismi.

Maqsad O26.1. Kodim I = m ekanligini isbotlang.

Oxirgi masala odatda davriy chegara masalasi yoki davriy echim masalasi deb ataladi. Ushbu nom (1) (ya'ni A (t) ≡ A (t + T) va f (t) ≡ f (t) tenglamaning uzluksiz T-davriy o'ng tomoni ekanligi bilan izohlanadi. + T)) F (x) = 0 shartni qondiradigan (1) tenglamaning echimi, ya'ni shart

x (t0) = x (t0 + T),

T davriy funktsiyasi.

Maqsad O26.2. Oxirgi gapni isbotlang (xususan, (1) tenglama uchun Koshi muammosi echimining o'ziga xosligidan foydalaning).

O26.1-sonli masala bo'yicha intuitiv ravishda aniq ko'rinib turibdiki, umumiy pozitsiyada (chiziqli) tenglama (1) ning davriy echimlari muammosi o'ziga xos tarzda echilishi mumkin.

Umumiy holatda davriy echimlar masalasi bu tenglamaning T davriy echimini topish masalasidir

x ′ = f (t, x) (2)

o'ng tomonda T davriyligi bilan: f (t, x) -f (t + T, x). Ushbu muammo dasturlarda juda muhimdir, chunki davriy echimlar haqiqiy tizimlarda davriy tebranish jarayonlarini tavsiflaydi. Ushbu tebranishlar ayniqsa mexanik va elektr qurilmalarda keng tarqalgan. Shuning uchun oddiy differentsial tenglamalarning davriy echimlari nazariyasi g'ayrioddiy darajada keng va uning chegaralarini biron bir aniqlik bilan belgilash juda qiyin. Ushbu inshoda biz o'quvchini ushbu kitobning boshqa bo'limlariga (mavzu indeksiga qarang) va bibliografiyaga murojaat qilib, davriy chegara muammosi nazariyasining eng oddiy tamoyillarini tavsiflaymiz.

Periyodik echimlarning chiziqli muammosi (ya'ni, doimiy A (t) va f (t) T-davriy funktsiyalari bilan (1) tenglamaning davriy echimlari muammosi; ikkinchisi quyida hamma joyda qabul qilinadi, chunki tenglamalarning davriy echimlari o'ng- t-da davriy bo'lmagan tomonlar faqat istisno holatlarda mavjud) chiziqli algebraik tenglamalarning barcha tipik xususiyatlariga ega: bir hil masala echimlari yig'indisi ham uning echimi, bir hil va bir hil bo'lmagan masalalar echimlari yig'indisi bir hil bo'lmagan muammo va h.k., unchalik ahamiyatsiz va muhimroq bayonot quyida keltirilgan

Davriy echimlarning chiziqli muammosining echuvchanligi haqidagi teorema. Har qanday T-davriy uzluksiz f (t) funktsiyasi uchun (1) tenglama, nol eritmasi mos keladigan bir hil masalaning yagona T davriy echimi bo'lsa, noyob T davriy echimiga ega.

Dalil. Φ (t) nolga teng normal bir hil tenglamaning asosiy matritsasi bo'lsin. U holda (1) tenglamaning umumiy echimi shaklga ega bo'ladi

x (t) = Φ (t) x0 + Φ (t) -t t

0

B - 1 (s) f (s) ds.

(3)

Ushbu yechim T davriy bo'lishi uchun, uni ko'rish oson bo'lganidek, x (T) = x0, ya'ni zarur va etarli.

[I - Φ (T)] x0 = Φ (T) ∫ T

0

B - 1 (s) f (s) ds.

(Men Rm-da identifikator operatoriman). Agar bir hil tenglama faqat nol T davriy echimga ega bo'lsa, u holda I - Φ (T) matritsasi qaytarilmas bo'ladi. Keyin (1) tenglamaning echimi bilan boshlang

x0 = [I - Φ (T)] - 1Φ (T)

. T

0

Φ - 1 (s) f (s) ds,

(to'rt)

shuning uchun yagona T davriy echimidir. Teoremaning teskari bayonoti aniq.

Maqsad O26.3. Dalillarning tafsilotlarini tiklang, xususan, I - Φ (T) qaytarilmasligini, agar bir hil tenglamada noldan tashqari T-davriy echimlari bo'lmagan taqdirda.

Ushbu teoremaning bayonoti oddiy va foydali operator talqinini tan oladi. Uzluksiz va mos ravishda uzluksiz farqlanadigan funktsiyalarning bo'shliqlarini x: [0, T] → Rm ni CT va CT1 bilan belgilaymiz. Har qanday funktsiya uchun x ∈ CT1, qo'ying

(Lx) (t) = x ′ (t) - A (t) x (t),

Maqsad O26.4. L ning CT1 dan CT gacha chiziqli ekanligini tekshiring.

Fundamental (chegara masalalarining umumiy nazariyasida bo'lgani kabi), agar L operatori o'zgaruvchan bo'lsa, u holda L - 1 shaklida ifodalanishi mumkin

(L - 1f) (t) =

. T

0 G (t, s) f (s) ds (t ∈ [0, T]),

(besh)

ya'ni (1) tenglama (agar mavjud bo'lsa va noyob bo'lsa) uchun davriy masalani echimi [0, T] shaklga ega

x (t) = ∫ T

0 G (t, s) f (s) ds.

Darhaqiqat, (4) ni (3) ga almashtirish, oddiy o'zgarishlardan so'ng, biz qo'lga kiritamiz

x (t) = ∫ T

0 Φ (t) {[I - Φ (T)] - 1Φ (T) + a (t, s) T} Φ - 1 (s) f (s) ds ≝

≝

. T

0 G (t, s) f (s) ds (t ∈ [0, T]),

Qaerda

a (t, s) = {1 0 ≤ s ≤ t uchun,

T

Maqsad O26.5. Yuqoridagi Greenning davriy chegara masalasining G (t, s) funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega ekanligini isbotlang:

1) tG (t, s) / ∂t = A (t) G (t, s) + f (t) barcha t ≠ s uchun;

2) G (t, s) t ≠ s uchun uzluksiz;

3) limlar → t - 0G (t, s) - limlar → t + 0G (t, s) = I

L - 1 operatorining vakili (5) chiziqli bo'lmagan davriy chegara masalalarini o'rganishda foydali bo'lib chiqadi. Masalan, nochiziqli tenglamaning T davriy echimlari masalasi

x ′ = A (t) x + f (t, x) (6)

agar uning chiziqli qismi bo'lsa

x ′ = A (t) x (7)

nolga teng bo'lgan T davriy davriy echimi chiziqli bo'lmagan integral tenglamani echishga kamaytiriladi

x (t) = ∫ T

0 G (t, s) f [s, x (s)] ds.

(sakkiz)

Maqsad O26.6. X (0) = x (T) shartni qondiradigan (8) tenglamaning echimlari va faqat ular (6) tenglamaning T davriy echimlarining [0, T] segmenti uchun cheklovlar ekanligini isbotlang.

Oxirgi bayon (6) tenglamaning davriy echimlari masalasini (8) tenglamaning o'ng tomonida paydo bo'ladigan integral operatorning sobit nuqtalari muammosiga kamaytirishga imkon beradi. Xususan, CT x (0) = x (T) ma'noda Rm davriylikdagi qiymatlari bilan [0, T] da aniqlangan doimiy funktsiyalarning Banax maydoni bo'lsin. KTdagi norma - bu bo'shliqning odatdagi normasi, biz CTdagi f operatorini formula bilan aniqlaymiz

(Fx) (t) = ∫ T

0 G (t, s) f [s, x (s)] ds (t ∈ [0, T]).

Maqsad O26.7. $ F $ CT dan CTgacha va uning sobit nuqtalariga ta'sir ko'rsatishini isbotlang va ular faqat (0) T-davriy echimlarning [0, T] cheklovlari.

Shunday qilib, F ning sobit nuqtaga ega bo'lishini ta'minlaydigan (6) tenglamadagi A va fdagi shartlar bir vaqtning o'zida ushbu tenglamaning davriy echimlari mavjud bo'lish shartlari hisoblanadi. Ushbu yo'nalishdagi eng oddiy bayonet

Periyodik echimlarning chiziqli bo'lmagan muammosining echuvchanligi haqidagi teorema. Bo'lsin:

1) A (t) va f (t, x) tdagi doimiy T davriy funktsiyalar;

2) bir hil tenglama (7) faqat nol T davriy davriy echimga ega;

3) f funktsiyasi har qanday t uchun Lipschits shartini x da doimiy L bilan qondiradi, va, K = TLsup0≤t, s≤T || G (t, s) || <1 (bu erda G (t, s) - (1) tenglama uchun davriy muammoning Grinning funktsiyasi).

U holda (6) tenglama noyob T davriy echimga ega.

Dalil. Agar biz uning shartlarida f ning KTda kontraktatsiya operatori ekanligini ko'rsatadigan bo'lsak, teorema isbotlanadi (u holda xaritalarni tuzish printsipi bo'yicha u o'ziga xos qat'iy nuqtaga ega bo'ladi). Ikkinchisiga quyidagi tenglik va tengsizliklar zanjiri kafolat beradi

|| Fx - Fy || CT =

maksimal

0 ≤ t ≤ T || . T

0 G (t, s) f [s, x (s)] ds - ∫ T

0 G (t, s) f [s, y (s)] ds || ≤

≤

maksimal

0 ≤ t ≤ T ∫ T

0 || G (t, s) || · || f [s, x (s)] - f [s, y (s)] || ds ≤

∫ ∫ T

0

sup

0-t, s-T || G (t, s) || · L · || x (s) - y (s) || ds ≤

∫ ∫ T

0

sup

0 ≤ t, s ≤ T || G (t, s) || L || x - y || CT ds =

= TL

sup

0-t, s-T || G (t, s) || · L · || x - y || CT = K || x - y || CT

(K <1 teoremasining 3-sharti bo'yicha).

Umumiy holatda, albatta, Yashilning funktsiyasini yozib bo'lmaydi, shuning uchun teoremaning 3-shartida aniq tenglamalarni o'rganishda odatda u yoki bu taxmin qo'llaniladi.

Ushbu qisqacha inshoni yakunida biz yana bir bor ta'kidlaymizki, oddiy differentsial tenglamalarning davriy echimlari nazariyasi nihoyatda kengdir. U yoki bu tarzda, xususan, Dinamik tizimlar, tekislikdagi dinamik tizimlar, Bifurkatsiya, chiziqli tizimlarning majburiy tebranishlari, eng yuqori hosilada kichik parametrli differentsial tenglamalar, O'rtacha printsip, Perturbatsiya nazariyasi, Topologik usullar haqidagi insholar kiradi. differentsial tenglamalar nazariyasida va boshqalar bu kitobda.

Adabiy ko'rsatmalar. Davriy echimlar muammosi oddiy differentsial tenglamalar nazariyasining ko'plab sohalarida ko'plab sohalarda o'rganilgan (qarang, masalan, keltirilgan insholar) .Shuning uchun adabiyot juda keng. Biz bu erda [Andronov - Vitt - Xaykin, Zubov, Krasnoselskiy, Koddington - Levinson, Nemitskiy - Stepanov, Xartman, Xeyl, Xeyl, Rouch - Mavxin] nomlarini keltiramiz.

Vazifalar. O26.8. Hech bir o'lchovli haqiqiy avtonom tenglama doimiy bo'lmagan davriy echimlarga ega emasligini ko'rsating.

O26.9. (2) tenglamadagi f (t, x) umumiy Koshi - Pikard teoremasining shartlarini qondirsin va t da T davriy bo'lsin. G0T operatorining belgilangan vaqt oralig'idagi o'zgarishi va ular faqat ushbu tenglamaning T davriy echimlarining boshlang'ich qiymatlari bo'lib xizmat qilishini isbotlang.

O26.10. Bir hil tizimning traektoriyalari (1) bo'ylab o'tgan davr mobaynida siljishning gt0t0 + T operatori berilgan davriy masalaning monodromiya operatori deyiladi. Har xil t0 uchun monodromiya operatorlari o'xshash va shuning uchun ularning spektri bir xil ekanligini ko'rsating. Monodromiya operatorining spektri (xususiy qiymatlari) nuqtalari davriy chegara masalasining multiplikatorlari deyiladi.

O26.11. X = Ax avtonom tizimi uchun T davriy chegara masalasining m ko'paytuvchilari m matritsaning λi o'zaro qiymatlari mi = eTλi tengliklar bilan bog'liqligini isbotlang.

O26.12. (1) tenglamaning davriy yechimi, agar mos keladigan bir hil masalaning barcha ko'paytirgichlari modulda birdan kam bo'lsa, eksponentsial ravishda barqarorligini isbotlang.

O26.13. Φ avtonom tenglamaning T-davriy echimi bo'lsin x ′ = f (x) o'ng tomoni bilan farqlanadigan. Birlik har doim the yechimga mos keladigan x = A (t) x (A (t) = f [φ (t)]) variatsion tizim uchun T davriy chegara masalasi monodromiya operatorining multiplikatori ekanligini ko'rsating. Bu, xususan, avtonom tenglamaning doimiy bo'lmagan davriy echimi asimptotik barqaror turolmasligini tushuntiradi (qarang Dinamik tizimlar inshoi).

O26.14. Nima uchun L - 1 mavjudlik sharoitida sup0≤s qiymati, t≤T || G (t, s) || bu cheklanganmi?

O26.15. 1) - 3) xossalari insho matnidagi O26.5-sonli masalada isbotlang, davriy chegara masalasi Yashilning funktsiyasini yagona aniqlaydi.

O26.16. Tenglama (1) uchun davriy chegara masalasining konjugati bu tenglamaning T davriy echimlari masalasidir.

y ′ = A * (t) y + g (t),

bu erda A * (t) A (t) ga birikadigan matritsa. Bir hil davriy chegara masalalari bir-biri bilan konjuge qilinganligini bir xil sonli chiziqli mustaqil T-davriy echimlarga ega ekanligini isbotlang.

O26.17. D1, ..., φl (va shunga ko'ra, ψ1, ..., ψl) bir hil tizimning (7) chiziqli mustaqil echimlari bo'lsin (va shunga ko'ra tizim unga konjuge qilinadi). Berilgan uzluksiz T davriy funktsiyasi bilan tizim (1) ning T davriy echimi φ bo'lsa va faqat shu holda isbotlang

. T

0 f (t) ψi (t) dt = 0

barchasi uchun i = 1, ..., l. Bunda (1) tenglamaning barcha T davriy echimlari shaklga ega

x (t) = φ (t) + l

∑

i = 1

ciφi (t)

(ci - o'zboshimchalik bilan doimiy).

O26.18. (1) sistema [0, ∞) bilan chegaralangan solution echimga ega bo'lsin. Keyin uning kamida bitta T davriy eritmasi borligini isbotlang. (Isbotlashning mumkin bo'lgan usullaridan biri quyidagicha. (1) tizim traektoriyalari bo'ylab o'tish davrining gT0 operatori o'zboshimchalik bilan x0 va y0 ni Rm ga bog'laydigan segmentni gT0 nuqtalarini birlashtiruvchi segmentga olib borishini ko'rsating. (x0) va gT0 (y0). Bundan tashqari, gT0 qavariq yopiq chegaralangan to'plamni oladi {φ (0), φ (T), φ (2T), ...} (bu erda ko Ω - bu konveks yopiq tanasi Ω) ni o'z ichiga o'rnating.Shundan keyin Shouder printsipi bo'yicha gT0 operatori kamida bitta sobit nuqtaga ega, bu T ning boshlang'ich qiymati.

Keyingi to'rtta masalada (6) tenglamada A (t) va f (t, x) tda uzluksiz va T-davriy, bir jinsli tenglamada (7) nolga teng bo'lmagan T-davriy echimlar mavjud emas va | | f (t, x) || All M hamma t va x uchun.

O26.19. Operator ekanligini isbotlang

(Fx) (t) = ∫ T

0 G (t, s) f [s, x (s)] ds

KTda ishlaydi va doimiydir.

O26.20. KTda f to'liq uzluksiz ekanligini isbotlang.

O26.21. F radiusi r = TM · ​​sup0≤t, s≤T || G (t, s) || ning boshida markazlashgan CT fazoning sharini oladi, deb isbotlang. o'zingizga.

O26.22. Schauder printsipidan foydalanib, (6) tenglama kamida bitta T davriy echimga ega ekanligini ko'rsating.