Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

xx,x2 ,...,xn bo‘lsin. Tanlamaning o‘rta qiymati x bosh to‘plam ma­ tematik kutilmasining siljimagan va asosli bahosi boiadi. Buni tek­

shirish qiyin emas, ya’ni			E4 = Ext = a,			= DXi (i = 1,n)	desak,
Ex = E	1	= - E		Y , xi	= - J L Exi = - ■ na =		■
n		n
V i=l	/			V1=1	J	/'=]

Demak, x baho Et, uchun siljimagan baho boiadi. Katta son­ lar qonuniga asosan har qanday E > 0 uchun «->oo da

P( \ x - EL,| > e )

0

va x baho £4, uchun asosli baho boiadi.
Xususan, agar normal taqsimlangan boisa. u holda qiymati uchun effektiv baho bolishini ko‘rsatish qiyin emas.
Tanlanma dispersiya

^D’r
—\2

/=]
bosh to‘plam dispersiyasining siljigan bahosi boiadi, chunki
EDT = ■Haqiqatan ham, quyidagi tengliklarni
= |>-£5-(*-£5)]2 =
1 = 1
= - £$)+£(*--E0 2 =

= ^ H ( xi ~ Et f ~ \ { x ~ El){x - EZ,)n + (x - Ec,f =

^ S ( X '- - E % ) - { x - E % f

i= I

156

va
E { x - E ^ f = Dx = -DZ,

n

ekanligini e’tiborga olsak,
EDT = 1 E Y i(xi - E ^ f - E [x ~ E^)2 = =
1=1
bo‘ladi.
Shu sababli, bosh to‘plam dispersiyasi uchun quyidagi «tu-zatilgan» dispersiya
^ = ^ = i r i h - * ) 2

1=1
siljimagan baho boladi, chunki ES1 = Df;.

Tanlanma dispersiyasining ai->co da Dt uchun asosli baho ekan­ ligini ko'rsatish mumkin.
Tanlanma dispersiyasini hisoblaganda quyidagi formuladan foy-dalanish qulay:
° T = ~ i t x? - x 2-

1 = 1
Tanlanma dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga oT = tanlanmaning o ‘riacha kvadratik chetlanishi deb ataladi.

Tanlanmaning «tuzatilgan» dispersiyasidan olingan kvadrat il­
dizga S = yj-^-j Dr tanlanmaning «tuzatilgan» o ‘rtacha kvadratik
chetlanishi deb ataladi. 1
Empirik taqsimot funksiyasi F* (x) taqsimot funksiya F(x) = P (£, < x) uchun siljimagan va asosli baho bo‘ladi.
6.6-§. Nuqtaviy baholarni topish usullari
Nuqtaviy baholarni topishning juda ko‘p usullari mavjud. Biz ko'p tarqalgan usullar: momentlar usuli, haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli va eng kichik kvadratlar usuliga to‘xtalib o‘tamiz.

157

Momentlar usuli. Momentlar usuli yordamida baho toppi uchun taqsimotning nazariy momentlari tanlanma to‘plam yor­ damida topilgan mos empirik momentlar bilan tenglashtiriladi.
Demak, agar taqsimot bitta parametr 0 ga bogiiq bo‘lsa, u holda E£, = x tenglamani 0 nisbatan yechish kerak boiadi. Agar taqsimot ikkita 01? 02 parametr ga bog‘liq bo'lsa, u holda
i Et, = x,
{/)^ = Dr
tenglamalar sistemasini 0 b 02 ga nisbatan yechish kerak boiadi. Va nihoyat, agar taqsimot n ta parametr 0,,02,...,0„ ga bogiiq boisa, u holda


E% = x,
= Dr ,
yoki • • •

/=!
1=1
tenglamalar sistemasining bittasini yechish kerak boiadi. Odatda momentlar usuli yordamida topilgan baho asosli bo'ladi. 1-misol. Momentlar usuli yordamida normal taqsimlangan £
tasodifiy miqdor parametrlarining bahosi topilsin.
Berilganga kola, xl,x2,...,xn tanlanma yordamida a = E% = 0, va ct2 = Dt = 02 parametrlar uchun nuqtaviy baho topish kerak.

Momentlar usuliga kola
[E^ = x,	a = x,
	ya ni
D^ = Dt ,
	a 2 = Dr
boiadi.

158

Demak, normal taqsimot parametrlari uchun momentlar usuli yordamida topilgan baholar 0[ = x va 02 = DT.
Haqiqatga eng katta o ‘xshashlik usuli (HKO‘U). Ayataylik, £, tasodifiy miqdor ustida n ta bogiiqsiz tajriba o'tkazib, xl,x2,...,xn tanlanma olingan bo'lsin. Ushbu tasodifiy miqdor zichlik funksi-yasming ko‘rinishi /(x,0) ma’lim, lekin 0 parametr noma’lum. Tanlanma yordamida 0 parametmi baholash talab etiladi.
HKO;U asosida, haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi tushunchasi
yotadi.
Tanlanma yordamida qurilgan haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi deb, quyidagi
l ( x , e ) = L( xl ,x2,...,xn,0) = /(x ,,0 ) - / ( x 2, 0 ) - / ( j c b10)
ko'rinishdagi 0 argumentning funksiyaga aytiladi.
Agar E, tasodifiy miqdor diskret tipda bo‘lsa,
L(x,G)= p( x i,0) p(x2,e)- ...■ p(x„,0)
ko‘rinishda boladi. Bu yerda p(x,0) - P{^ = x j .
HKO‘U ko‘ra 0 parametrning nuqtaviy bahosi sifatida 0 ning shunday qiymati olinadiki, bu qiymatda haqiqatga o'xshashlik funksiyasi maksimumga erishadi.
Bunday yo‘l bilan topilgan baho haqiqatga eng katta o'xshash baho deb ataladi va u