Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

p, q sonlar uchun p > \, q > \, ~ + m unosabatlar o ‘rinli boMsin.
Agar E%p < « va Ex\q < oo b o ‘lsa, u holda
E ^ < { E ^P ) P - { E ^ y
tengsizlik o ‘rinli b o ‘ladi.
G yolder tengsizligida p = q = 2 deb olinsa, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi.
K o‘p hollarda berilgan %tasodifiy m iqdorning chiziqli kom bi-natsiyalari bilan ish ko‘rishga to ‘g ‘ri keladi, ularning yuqori tar­ tibli m om entlari uchun
E(aZ, + b )k = a k mk + C xka k~l b m ^ + ... + bk form ulani isbot etish m um kin.

118

Endi yuqori tartibli (k > 2) absolut m om entlar — $ k larga te ­ gishli quyidagi xossani isbotlaylik. Buning uchun u va v o'zgaruv-chilarga nisbatan

“ k-1 k+\_
\ \ u\ x \ 2 + v \ x \ 2 ]2 d F( x) = Pt _|M2 + 2fikuv + p t+1y2 > 0
—00
manfiy boMmagan kvadratik form ani ko'raylik. Bu kvadratik for-maning determ inantini hisoblab,
p f ^ P L - P L

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikda navbati bilan k= 1,2,... deb hisoblansa,

p,2
Hosil boMgan tengsizliklarni o'zaro ko'paytirsak,
P* ^ P*+i» k =
tengsizliklar kelib chiqadi. Oxirgidan esa
3{ s p f ; ! , * = 1,2,...
ekanligi kelib chiqadi. Xususan,

I I i

Pi —P2 ’ P2 —P3 >•

va bu tengsizliklar Lyapunov tengsizliklari deb ataladi.

Ixtiyoriy taqsim ot funksiya F(x) ning ham m a tartibdagi m o-mentlari

mavjud boMsin. Bu m om entlar F(x) funksiyani bir qiymatli aniq ­ laydi degan m asalani qo‘yamiz. Bu masala m atem atik analizdagi «m om entlar problemasi» deb ataladigan um um iy masala bilan bogMiq va uning yechim idan quyidagi natija kelib chiqadi. Agar