Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

1.3-§. Ehtimollikning geometrik va statistik ta’riflari
Klassik ta’rifga tushmaydigan, ya’ni mumkin boigan hollari cheksiz bo‘la oladigan yana bir modelni keltiramiz.

Biror Z)soha berilgan bo‘lib, D] soha lining qism ostisi bo'lsin. Agar D sohaga tavakkaliga nuqta tashlanayotgan bo'lsa, shu nuq-taning Z), ga tushish ehtimolligi P(D) nimaga teng bo'ladi? — degan savol o‘rinli boiadi. Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, «D so­ haga tavakkaliga nuqta tashlanayapti», deyilganda biz quyidagini tushunamiz: tashlanayotgan nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi-ga tushishi mumkin va D ning biror qism ostisiga nuqta tushishi ehtimolligi shu qism o‘lchovi (uzunlik, yuza va hokazo)ga propor-sional bo‘lib, uning joylashishiga va shakliga bog‘liq emas.

Demak, yuqoridagilami hisobga olib, quyidagi ta’rifini kirishi-timiz mumkin:
Ta’r if D sohaga tavakkaliga tashlanayotgan nuqtaning uniug qism ostisi Dxga tushish ehtimolligi deb,
t>t n \ _ mes{Di)
"mes{D)
formula bilan aniqlanadigan songa aytiladi.

19

Bu yerda mes (messung — oichov) orqali sohaning o‘lchovi (uzunlik, yuza yoki hajm) belgilangan.
Odatda, bu ta’rif ehtimollikning geometrik ta ’rifi deb yuritiladi. 1-misol. Tomoni 4 ga teng bo‘lgan kvad-ratga aylana ichki chizilgan. Tasodifiy ravish­ da kvadratning ichiga tashlangan nuqtaning aylana ichiga tushish ehtimolligini toping
(6-rasm).
Yechish. D — tomoni 4 ga teng bo‘lgan kvadrat. Dx —kvadratga ichki chizilgan radiusi 2 ga teng aylana. D va Z), shakllar tekislikda qaralayotganligi uchun o‘lchov sifatida yuza olinadi. U holda
p i n \ - mesW _ yuzaiDi} _ 4it _ n
^ mesiD) yuzaiD} 16 4'
2-misol. Ikki do‘st soat 9 bilan 10 orasida uchrashmoqchi bo'lishdi. Birinchi kelgan kishi do‘stini 15 minut davomida kuti-shi avvaldan shartlashib olindi. Agar bu vaqt mobaynida do‘sti kelmasa, u ketishi mumkin. Agar ular soat 9 bilan 10 orasidagi ixtiyoriy paytda kelishlari mumkin bo‘lib, kelish paytlari ko‘rsatilgan vaqt mobaynida tasodifiy bo‘lsa va o‘zaro kelishib olingan bo‘lmasa, bu ikki do‘stning uchrashish ehtimolligini hisoblang.

Yechish. Birinchi kishining

kelish vaqt momenti x, ikkin-

chisiniki esa y bo‘lsin. Ularning
uchrashishlari uchun \x - y |< 15
tengsizlikning bajarilishi zarur va
yetarlidir. x va y lami tekislikdagi
Dekart koordinatalari sifatida tas-

virlaymiz va masshtab birligi deb

minutlami olamiz. Ro‘y berishi

mumkin bo'lgan barcha imkoni-

0. 
   yatlar tomonlari 60 bo‘lgan kvad-
   

0. 
   rat nuqtalaridan va uchrashishga qulaylik tug‘diruvchi imkoniyat-
   

lar shtrixlangan soha nuqtalaridan iborat (7-rasm). Demak, ebti - mollikning geometrik ta’rifiga ko‘ra, izlanayotgan ehtimollik shtrix­ langan soha yuzasining kvadrat yuzasiga nisbatiga teng. Izlanayo­ tgan ehtimollik
= 6Q2 -45-45 = j 45-45 _ | _ 3_ _ 3 _ _7_
602 602 4 4 1 6 '
Ehtimollikning klassik ta’rifi formulasidan tajribalar natijalari faqat teng imkoniyatli boigandagina foydalanish mumkin. Ammo amaliyotda esa mumkin bo'lgan hollar teng imkoniyatli bo‘laver-masligini yoki bizni qiziqtirayotgan hodisa uchun qulaylik yaratuv-chi hollarni aniqlab bo'lmasligini ko‘rishimiz mumkin. Bunday hollarda tajribani muayyan sharoitda bog‘liqsiz ravishda ko‘p marta takrorlab, hodisa nisbiy takrorlanishini kuzatib, uning ehtimol-ligiri taqriban aniqlash mumkin bo‘ladi.
Tasodifiy hodisa A ning nisbiy chastotasi deb shu hodisaning ro‘y bergan tajribalar soni n(A) ning o‘tkazilgan tajribalar umu-miy soni n ga nisbatiga aytiladi. Tajribalar soni yetarlicha katta («->• oo) boMganida ko‘p hodisalarning nisbiy chastotasi ma'lum qonuniyatga ega bo‘ladi va biror son atrofida tebranib turar ekan. Bu qonuniyat XVIII asr boshlarida Yakob Bernulli tomonidan aniqlangan. Unga asosan bog‘liqsiz tajribalar soni cheksiz ortib borgartida (n -> ■») muqarrarlikka yaqin ishonch bilan hodisaning nisbiy chastotasi uning ro‘y berish ehtimolligiga yetarlicha yaqin bo‘lishi tasdiqlanadi. Bu qonuniyat o‘z navbatida ehtimollikning statistik ia 'rifi deb ataladi. Demak, A hodisa P(A) ehtimolligi si­

fatida	lim ^ - ^ - - P ( A ) yoki	~ Pi A) yetarlicha		katta lar
uchun	n —yco ft	n
	ni olish mumkin.
Boshqacha qilib aytganda,		P(A) sifatida taqriban	n	ni olish

mumkin ekan.
Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Bizni {Gerb tushadi} — G hodisasi qiziqtirayotgan boisin. Klassik
ta’rifga asosan P( G ) = | . Shu natijaga statistik ta’rif bilan ham

21

kelishimiz mumkin. Shu boisdan biz Byuffon va Pirsonlar to-monidan o‘tkazilgan tajribalar natijasini quyidagi l-jadvalda kel-

tiramiz. Jadvaldan ko‘rinadiki, n ortgani sari — — soni ^ ga ya-

n 2
qinlashar ekan. Ammo statistik ta'rifning ham amaliyotda no-qulaylik tomonlari bor. U tajribalarning soni orttirilishini talab qiladi. Bu esa amaliyotda kolp vaqt va xarajallarni talab qilishi mumkin.

			l-jadval
Tajriba	Tajribalar	Tushgan	Nisbiy
o'tkazuvchi	soni, n	gerblar soni,	takrorlanish
		n(G)	MG')
			n
Byuffon	4040	2048	0,5080
K.Pirson	12000	6019	0,5016
K.Pirson	24000	12012	0,5005