Ehtimol va uni hisoblash usullari

Hodisa ehtimolining klassik ta`rifi. Biror tajriba natijasida chekli sondagi e₁, e₂,

…, e_n elementar hodisalardan birortasi ro`y berishi mumkin bo`lsin.

Bu e₁, e₂, …, e_n elementar hodisalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   hodisalar juft-jufti bilan birgalikda emas, ya`ni istalgan ikkita e<sub>i</sub> va e<sub>j</sub> (ij) hodisa birgalikda ro`y bermaydi;
   
2. 
   e₁, e₂, …, e_n hodisalardan birortasi albatta ro`y beradi;
   
3. 
   e₁, e₂, …, e_n hodisalar teng imkoniyatli.
   

Biror A hodisa e₁, e₂, …, e_n elementar hodisalar ichidan

е_k1 , е_k2 , ..., е_km lar ro`y berganda

ro`y bersin. Bu holda

е_k1 , е_k2 , ..., е_km

elementar hodisalar (ya`ni A hodisasining ro`y berishiga olib

keladigan hodisalar) A hodisaga qulaylik tug`diradigan hodisalar deyiladi.

Masalan, tangani ikki marta tashlash tajribasini qaraylik. Bu tajriba natijasida GG, GR, RG, RR elementar hodisalar ro`y beradi.

A hodisa tangani ikki marta tashlaganda ikkala holda ham gerbli tomoni tushishi hodisasi (GG hodisasi) bo`lsin. Bu holda A hodisaga qulaylik tug`diradigan elementar hodisa faqat bitta bo`ladi (GG hodisa).

Faraz qilaylnk, p ta e₁, e₂, …, e_n elementar hodisalardan t tasi A hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`dirsin.

23.8-ta`rif. Ushbu

^m son A hodisaning ehtimoli deb ataladi va uni R(A) kabi yoziladi:

n

R(A)= ^m .

n

Demak, A hodisaning ehtimoli A hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`diruvchi hodisalar sonining teng imkoniyatli barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga teng.

Misollar. 1. Yashikda yaxshilab aralashtirilgan 25 ta bir xil shar bo`lib, ulardan 5 tasi ko`k, 11 tasi qizil va 9 tasi oq shar bo`lsin. Yashikdan tavakkaliga bitta shar olinganda uning ko`k shar bo`lishi, qizil shar bo`lishi va oq shar bo`lishi ehtimollari topilsin.

Ravshanki, jami elementar hodisalar soni p = 25 (5+11+9=25) bo`ladi. Aytaylik, A,V va S mos ravishda ko`k, qizil va oq shar chiqishidan iborat hodisalarni ifodalasin. m₁, m₂ va t₃ esa mos ravishda bu hodisalarga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni bo`lsin. U holda masala shartiga ko`ra m<sub>1</sub>=5, m<sub>2</sub> = 11, t<sub>3</sub> =9 bo`ladi.

Ehtimolning klassik ta`rifiga ko`ra

РА 

⁵  0,2,

25

РВ  ¹¹  0,44,

25

РС  

⁹  0,36

25

bo`ladi. Demak, tavakkaliga olingan sharning ko`k shar bo`lish ehtimoli 0,2 ga, qizil shar bo`lish ehtimoli esa 0,44 ga va oq shar bo`lish ehtimoli 0,36 ga teng.

2. 
   O`tkazilayotgan tajriba, simmetrik, bir jinsli tangani uch marta tashlashdan iborat bo`lsin. Tajriba natijasida 2 marta gerbli tomoni tushish hodisasining ehtimoli topilsin.
   

Tangani uch marta tashlashda ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar to`plamini tuzamiz:

 = { e₁ = (GGG), e₂ = (GGR), e₃ = (GRR), e₄ = (RRR),

e₅ = (RGR), e₆ = (RRG), e₇ = (GRG), e₈ = (RGG)}

bo`lib, bu to`plam elementlarining soni p = 8.

Aytaylik, A hodisa tangani uch marta tashlaganda 2 marta gerbli tomoni tushishi hodisasi bo`lsin. Elementar hodisalar to`plami  dan ko`ramizki, barcha elementar imkoniyatlar soni p = 2³ = 8,

ulardan A hodisaga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni t = 3 bo`ladi.

Hodisa ehtimolining ta`rifiga ko`ra qaralayotgan A hodisaning ehtimoli

РА  ³  0,375

8

bo`ladi.
Hodisa ehtimolining ta`rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi. 1°. Har qanday A hodisaning ehtimoli

R(A) 0 va R(A) 1,

ya`ni 0  R(A) 1 bo`ladi.

2°. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng bo`ladi, ya`ni R(  )= 1 .

3°. Mumkin bo`lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng bo`ladi: R(V)=0.

2. Hodisa ehtimolining geometrik va statistik ta`riflari. Biz yuqorida o`rgangan ehtimolning klassik ta`rifidan unda bayon etilgan barcha elementar imkoniyatlar soni chekli bo`lgan holdagina foydalanish mumkin, aks holda bu ta`rifdan foydalaiib bo`lmaydi.

Bunday holda hodisa ehtimoliga boshqacha ta`rif berishga to`g`ri keladi. Quyida hodisa ehtimolining geometrik va statistik ta`riflarini keltiramiz.