Egri chiziqlarning parametrik tenglamalari. Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi

Urinmaning turli ko`rinishdagi tenglamalari.

Ma‘lumki, egri chiziq turli ko`rinishdagi tenglamalar orqali berilishi mumkin. Egri chiziqning berilishi usuliga mos ravishda urinma tenglamalari xam turli ko`rinishlarda bo`ladi. Ularning ayrimlarini ko`rib o`tamiz.

1. Aytaylik  egri chiziq x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Ma‘lumki, boshlang`ich nuqtasi М(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) va yo`naltiruvchi vektori l(m,n,р) bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasi ((x-x<sub>0</sub>)/m)=((y-y<sub>0</sub>)/n)=((z-z<sub>0</sub>)/р) ko`rinishda bo`ladi. Bundan foydalanib va yuqorida isbot qilingan teoremani etiborga olib, x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqning Р(x₀,y₀,z₀) nuqtasidagi urinma tenglamasini

(1)

ko`rinishda yozish mumkin. Xususan, agar chiziq tekis egri chiziqdan iborat bo`lib, x=f₁(t), y=f₂(t) ko`rinishda berilgan bo`lsa, urinma tenglamasi

bo`ladi.

2. Faraz qilaylik  egri chiziq y=f(x), z=(x) ko`rinishdagi tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Bu tenglama x=t, y=f(t), z=(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamaga ta`luqlidir. Shuning uchun urinma tenglamasini (1) ko`rinishda yozish mumkin, yani

yoki (2)

Xususan, tekis egri chiziq uchun bizga ma‘lum bo`lgan y=y₀+f'(x₀)(x-x₀) tenglama kelib chiqadi.

3.  egri chiziq (x,y,z)=0, (x,y,z)=0 ko`rinishdagi oshkormas tenglamalar orqali berilgan bo`lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tenglamasini tuzish talab qilingan bblsin. Bu yerda

matritsaning rangi 2 ga teng.

Aytaylik x=x(t), y=y(t), z=z(t) tenglamalar egri chiziqning Р(x₀,y₀,z₀) nuqta atrofidagi qandaydir regulyar parametrlangan tenglamalari bo`lsin. U xolda biz quyidagi ayniyatga ega bo`lamiz, yani

(x(t),y(t),z(t))=0

(x(t),y(t)z(t)=0

Bu ayniyatlarni t bo`yicha differentsiallab quyidagilarni topamiz:

_xx'_t+_yy'_t+_zz'_t=0

_xx'_t+_yy'_t+_zz'_t=0

Oxirgi tengliklardan shu narsa kelib chiqadiki, koordinatalari (x'_t,y'_t,z'_t) bo`lgan r'(t) vektor (<sub>x</sub>,<sub>y</sub>,<sub>z</sub>) va (<sub>x</sub>,<sub>y</sub>,<sub>z</sub>) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko`paytmalari 0 ga teng. Bundan r'(t) vektorning yo`nalishi [,] vektorning yo`nalishi bilan ustma-ust tushadi.

Demak, [,] vektor urinmaning yo`naltiruvchi vektoridan iborat ekan. Shunday qilib urinma tenglamasini

ko`rinishda yoza olamiz. Agar  tekis egri chiziq bo`lib, (х,у)=0 ko`rinishdagi tenglama bilan berilgan bo`lsa urinma tenglamasi

ёки _х(х-х₀)+_у(у-у₀)=0

ko`rinishda bo`ladi.