Du-faz eps

§ 3.
Векторы на плоскости и в пространстве.
Вектор
−→
AB
=
~a
– направленный
A
B
~a
отрезок, в котором точка
A
рассматри-
вается как начало вектора, а
B
– как
конец. Модулем (длиной) вектора назы-
вается число, равное длине отрезка. Он
обозначается как
|
−→
AB
|
=
|
~a
|
=
AB
=
a
.
Единичные векторы
~i
,
~j
,
~k
, направленные вдоль координатных
осей
x
,
y
,
z
соответственно, называются ортами. Любой вектор в про-
странстве можно представить как линейную комбинацию ортов
~a
=
a
x
~i
+
a
y
~j
+
a
z
~k
Числа
a
x
,
a
y
,
a
z
называются координатами вектора и любой вектор
однозначно ими определяется
~a
=
{
a
x
, a
y
, a
z
}
.
Если заданы координаты начала
A
(
x
a
, y
a
, z
a
)
и конца
B
(
x
b
, y
b
, z
b
)
вектора, то координаты вектора находятся по формуле
a
x
=
x
b
−
x
a
;
a
y
=
y
b
−
y
a
;
a
z
=
z
b
−
z
a
.
Связь длины вектора с координатами
a
=
q
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
.
~a
~a
~a
~b
~b
~b
~c
~c
16

---

Сложение векторов происходит по правилу треугольника или па-
раллелограмма (см. рис.). Если
~c
=
~a
+
~b
, то
c
x
=
a
x
+
b
x
,
c
y
=
a
y
+
b
y
,
c
z
=
a
z
+
b
z
.
Произведением вектора
~a
на число
λ
называется новый вектор
длины
λa
и направленный одинаково (
λ >
0
) или противоположно
(
λ <
0
). Если
~b
=
λ~a
, то
b
x
=
λa
x
,
b
y
=
λa
y
,
b
z
=
λa
z
.
3.1. Задания к теме.
1. В прямоугольнике
ABCD
точка
M
– середина
BC
и
N
– середина
CD
. Выразить векторы
−−→
AM
,
−−→
AN
и
−−→
MN
через
−→
AB
=
~a
и
−−→
AD
=
~b
.
2. Даны векторы
−→
OA
=
~a
и
−−→
OB
=
~b
. Вектор
−→
OC
=
~c
– медиана
△
OAB
. Разложить аналитически и геометрически: 1) вектор
~c
по
векторам
~a
и
~b
, 2) вектор
~a
по векторам
~b
и
~c
.
3. Дан правильный шестиугольник
OABCDE
со стороной
OA
=
= 3
. Обозначив единичные векторы направлений
−→
OA
,
−→
AB
,
−−→
BC
через
~
m
,
~n
и
~p
, установить зависимость между ними (например,
рассмотрением трапеции
OABC
). Выразить затем через
~
m
и
~n
векторы
−−→
OB
,
−−→
BC
,
−−→
EO
,
−−→
OD
,
−−→
DA
.
4. Построить параллелограмм на векторах
−→
OA
=
~i
+
~j
и
−−→
OB
=
~k
−
3
~j
и определить его диагонали.
5. В точке
A
(2; 1;
−
1)
приложена сила
R
= 7
. Зная две координаты
этой силы
R
x
= 2
и
R
y
=
−
3
, определить координаты конца
вектора
~
R
.
6. На плоскости
xOy
даны точки
A
(4; 2)
,
B
(2; 3)
,
C
(0; 5)
и построе-
ны векторы
−→
OA
=
~a
,
−−→
OB
=
~b
и
−→
OC
=
~c
. Разложить аналитически
и геометрически вектор
~a
по векторам
~b
и
~c
.
17

---

7. Найти точку, удаленную на 5 единиц как от точки
A
(2; 1)
, так и
от оси
Oy
.
8. Найти центр и радиус круга, описанного около треугольника с вер-
шинами
A
(4; 3)
,
B
(
−
3; 2)
,
C
(1;
−
6)
.
9. В равнобедренной трапеции
OABC
угол
∠
BOA
= 60
◦
,
OB
=
=
BC
=
CA
= 2
,
M
и
N
– середины сторон
BC
и
AC
. Выразить
векторы
−→
AC
,
−−→
OM
,
−−→
ON
и
−−→
MN
через
~
m
и
~n
– единичные векторы
направлений
−→
OA
и
−−→
OB
.
10. Даны точки
A
(2; 2; 0)
и
B
(0;
−
2; 5)
. Построить вектор
−→
AB
=
~u
.
Определить его длину.
11. Даны три вершины параллелограмма
A
(1;
−
2; 3)
,
B
(3; 2; 1)
,
C
(6; 4; 4)
.
Найти его четвертую вершину
D
.
12. На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала коор-
динат и от точки
A
(
−
2; 5)
.
Ответы: 1.
~c
= (
~a
+
~b
)
/
2
.
2.
~a
= 2
~c
−
~b
.
3.
~
m
+
~p
=
~n
,
−−→
OB
=
= 3(
~n
+
~
m
)
,
−−→
BC
= 3(
~n
−
~
m
)
,
−−→
EO
= 3(
~
m
−
~n
)
,
−−→
OD
= 3(2
~n
−
~
m
)
,
−−→
DA
= 6(
~
m
−
~n
)
.
4
.
−→
OC
=
~i
−
2
~j
+ 3
~k
,
OC
=
√
6
,
−→
AB
=
~k
−
4
~j
−
~i
,
AB
= 3
√
2
.
5.
Конец
B
(4;
−
2; 5)
или
B
(4;
−
2;
−
7)
.
6.
~a
= 2
~b
−
0
.
8
~c
.
7.
(5; 5)
,
(5;
−
3)
.
8.
(1;
−
1)
,
R
= 5
.
9
.
−→
AC
= 2(
~n
−
~
m
)
,
−−→
OM
= 2
~n
−
~
m
,
−−→
ON
= 3
~
m
+
~n
,
−−→
MN
= 2
~
m
−
~n
.
10.
u
= 3
√
5
.
11.
D
(4; 0; 6)
.
12.
(0; 2; 9)
.
§ 4.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, рав-
ное произведению их длин, умноженное на косинус угла между ними:
(
a, b
) =
ab
cos
ϕ
.
18

---

Если известны координаты векторов, то
(
a, b
) =
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
.
Свойства скалярного произведения
1)
(
~a,~b
) = (
~b,~a
)
2)
(
~a,~b
+
~c
) = (
~a,~b
) + (
~a, ~c
)
3)
(
λ~a,~b
) = (
~a, λ~b
) =
λ
(
~a,~b
)
Вычисление длины вектора:
a
=
p
(
~a, ~a
)
.
Вычисление угла между векторами:
cos
ϕ
=
(
~a,~b
)
ab
.
4.1. Задания к теме.
1. Определить угол между векторами
~a
=
−
~i
+
~j
и
~b
=
~i
−
2
~j
+ 2
~k
.
2. Определить углы
△
ABC
c вершинами
A
(2;
−
2; 3)
,
B
(1; 1; 1)
,
C
(0; 0; 5)
.
3. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противополож-
ные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах
~a
= 2
~i
+
~j
и
~b
=
−
2
~j
+
~k
.
5. Вычислить: 1)
(
~
m
+
~n
)
2
, если
~
m
и
~n
– единичные векторы с углом
между ними
30
◦
2)
(
~a
−
~b
)
2
, если
a
= 2
√
2
,
b
= 4
и угол между
~a
и
~b
равен
135
◦
.
6. Даны компланарные векторы
~a
,
~b
и
~c
, причем
a
= 3
,
b
= 2
,
c
= 5
,
(
c
~a,~b
) = 60
◦
и
(
c
~b,~c
) = 60
◦
. Построить вектор
~u
=
~a
+
~b
−
~c
и
вычислить его модуль.
7. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на
векторах
~a
= 2
~
m
+
~n
и
~b
=
~
m
−
2
~n
, где
~
m
и
~n
– единичные векторы,
угол между которыми
60
◦
.
19

---

8. Определить угол между биссектрисами двух плоских углов пра-
вильного тетраэдра, проведенными из одной вершины.
9. На осях
Ox
,
Oy
,
Oz
отложить равные отрезки
a
= 4
и на них
построить куб. Пусть
M
– центр верхней грани, а
N
– центр правой
боковой грани куба. Определить векторы
−−→
OM
и
−−→
ON
и угол между
ними.
10. Из вершины прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см проведены
прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол
ϕ
между ними.
11. Найти угол между векторами
~a
= 2
~
m
+ 4
~n
и
~b
=
~
m
−
~n
, где
~
m
и
~n
– единичные векторы, образующие угол
120
◦
.
12. К вершине правильного тетраэдра с ребром
a
приложены три
силы, изображаемые его вектор-ребрами. Определить величину
равнодействующей этих сил. (Указание: искомая величина равна
a
p
(
~
m
+
~n
+
~p
)
2
, где
~
m
,
~n
,
~p
– единичные векторы данных сил.)
Ответы: 1.
135
◦
.
2.
B
+
C
= 45
◦
.
3.
arccos 0
.
8
.
4.
90
◦
.
5.
1)
2 +
√
3
, 2)
40
.
6.
7.
7.
√
7
и
√
13
.
8.
5/6.
9.
−−→
OM
= 2(
~i
+
~j
+ 2
~k
)
,
−−→
ON
= 2(
~i
+ 2
~j
+
~k
)
,
cos
θ
= 5
/
6
.
10.
cos
ϕ
=
0
.
26
√
10
.
11.
120
◦
.
12.
a
√
6
.
§ 5.
Уравнение прямой.
Общее уравнение прямой имеет вид
Ax
+
By
+
C
= 0
.
При
B
= 0
прямая параллельна оси
Oy
и ее уравнение можно
записать в виде
x
=
a
.
При
B
6
= 0
уравнение прямой записывается в виде, называемом
уравнением прямой с угловым коэффициентом
y
=
kx
+
b
. Угловой ко-
эффициент
k
равен тангенсу угла наклона прямой к оси
Ox
. Свободный
20

---

коэффициент
b
– величина отрезка на оси
Oy
.
Уравнение прямой с заданным
k
и проходящей через
A
(
x
a
, y
a
)
:
y
−
y
a
=
k
(
x
−
x
a
)
.
Уравнение прямой, проходящей через точки
A
(
x
a
, y
a
)
и
B
(
x
b
, y
b
)
:
y
−
y
a
y
b
−
y
a
=
x
−
x
a
x
b
−
x
a
.
Вычисление угла между прямыми:
tg
ϕ
=
k
2
−
k
1
1 +
k
1
k
2
.
Условие параллельности прямых:
k
1
=
k
2
.
Условие перпендикулярности прямых:
k
1
k
2
=
−
1
.
5.1. Задания к теме.
1. Написать уравнение прямой, пересекающей ось
Oy
в точке 3 и
составляющей с осью
Ox
угол 1) 45
◦
, 2) 60
◦
, 3) 135
◦
.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через 1) начало коорди-
нат и точку
A
(
−
2
,
3)
, 2) точки
B
(
−
1
,
3)
и
C
(4
,
−
2)
.
3. Построить прямую
2
x
−
y
= 0
. Через точку
A
(
−
2
,
5)
провести
прямую 1) параллельную к данной, 2) перпендикулярную к данной.
Написать их уравнения.
4. Построить прямые и определить угол между ними: 1)
y
= 2
x
−
3
и
y
=
x
2
+ 1
, 2)
3
x
−
4
y
= 6
,
8
x
+ 6
y
= 11
.
5. В треугольнике с вершинами
A
(
−
2
,
0)
,
B
(2
,
6)
и
C
(4
,
2)
проведе-
ны высота
BD
и медиана
BE
. Написать уравнения прямых
AC
,
BD
,
BE
.
6. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10см и 6см, при-
няв большую диагональ за ось
Ox
и меньшую – за
Oy
.
21

---

7. Построить треугольник со сторонами, заданными уравнениями
x
+
+
y
= 4
,
y
= 3
x
,
x
−
3
y
−
8 = 0
. Найти вершины треугольника и
углы при них.
Ответы: 1.
y
=
x
+ 3
,
y
=
√
3
x
+ 3
,
y
= 3
−
x
.
2.
y
=
−
1
.
5
x
.
3.
y
= 2
x
+ 9
,
y
=
−
0
.
5
x
+ 4
.
4.
arctg
3
4
,
90
◦
.
5.
y
=
x
+2
3
,
y
= 5
x
−
4
,
y
= 3
x
−
12
.
6.
y
=
±
3
5
x
±
3
.
7.
α
= arctg
4
3
,
β
=
γ
= arctg 2
.