Диофонтова приближение с простым числом, квадрата и k-ой степени простых чисел Эрдонов Б. Х

Диофонтова приближение с простым числом, квадрата и k-ой степени простых чисел
Эрдонов Б.Х. (Термезский государственный университет)
В статье исследуем диофонтова задачу с простым числом, квадрата и k-ой степени простых чисел. Цель состоит в том, чтобы действительное число приблизить выражением вида

где - простые числа, а коэффициенты -ненулевые действительное числа, удовлетворяющие некоторым заданным условиям. Мы докажем следующую теоремы.
Теорема. Предположим, что -ненулевые действительные числа,которое не все одного знака. Пусть любое действительное число. Тогда для и любого неравенство
(1)
имеет бесконечно много решений в простых переменных . На протяжении всей статьи используем стандартные обозначения в теории чисел. В частности, пусть достаточно малое положительное число и c абсолютная константа, не обязательно одинаковую во всех случаях. Для удобства используем обозначение где -достаточно большой число.
При и определим функция и из непрерывности находим . Тогда имеем . Пусть - преобразование Фурье , т.е. где . Известно, что, для таких преобразований имеем (см.[1]). Определим интервалы таких что, все лежит в т.е. положим
.
Кроме того, обозначим

Мы приблизим (см.[2]). Для любого измеримого множества R пусть тогда

.
Отметим, что и ,
Следовательно мы имеем где - обозначает количества решений неравенства (1) при и Таким образом, достаточно установить положительную нижнюю оценку для . Чтобы оценить интеграл, разделим вещественную прямую на большую дугу , малую дугу и тривиальную дугу . Определяем

где . Таким образом (см.[3])
. (2)
Далее, оцениваю правую часты (2), используя схемы работы [1,2], каждое получим утверждение теоремы.


Литература
1. The values of ternary quadratic forms at prime arguments, Mathematika 48 (2003) 137–149.
2. Аллаков И. Оценка триганометрических сумм и их приложения к решению некоторых аддитивных задач теории чисел. “Сурхан нашр” 2021 г. 160 стр