Diofant tenglamalari Сhiziqli Diofant tenglamalari

m	n	x	y	z
Yuza
2	1	3	4	5	6
3	2	5	12	13	30
4	1	15	8	17	60
4	3	7	24	25	84
5	2	21	20	29	210
5	4	9	40	41	180
6	1	35	12	37	210
6	5	11	60	61	330
7	2	45	28	53	630
7	4	33	56	65	924
7	6	13	84	85	546
8	1	63	16	65	504
8	3	55	48	73	1320
8	5	39	80	89	1560
8	7	15	112	113	840
9	2	77	36	85	1386
9	4	65	12	97	2340

Natija:  Pifagor uchliklari  quyidagicha  aniqlanadi:

X=k(     ,    y=2kmn  ,     z=k(     (2.3)     bu  yerda   k,m,n     Z.

Diofant  tenglamalarni  taqqoslamalar    yordamida  yechish.

Taqqoslamalar  Diofant  tenglamalarning    yechimga  ega  emasligini   isbotlovchi  usul  sifatida  qaralishi  mumkin . 

TA’RIF:  Agar  a-b  son  m  ga  bo’linsa  ,  u  holda  a    va  b  sonlar  m   modul  bo’yucha  taqqoslanadi   deyiladi   va  bu  munosabat  quyidagicha  yoziladi :

a b(mod m) 

Taqqoslamalarni  qo’shish  ,  ayirish   va  ko’paytirish  mumkin . 

Taqqoslamalar  yordamida   yechiladigan   misollarni  ko’rib  chiqsak  .

1-misol :         tenglama  butun  yechimlarga   ega  emasligini  isbotlang .

YECHISH:    x=z-1001  bo’lsa  ,  tenglama   quyidagi  ko’rinishga  ega  bo’ladi . 

     

   .Chap  taraf  2  bilan  3  modul  bo’yicha  taqqoslanadi  . Xech  qanday  sonning  kvadrati  2  bilan  3  modul  bo’yicha  taqqoslanmasligini  inobatga  olsak  ,  bu  tenglama  butun  yechimlarga  ega  emasligini  hosil  qilamiz . 

2-misol .           tenglamani  qanoatlantiradigan  tub  p  va  q  larni  toping . 

YECHISH :    (7.3)  -  yagona  yechimligini  ko’rsatamiz  .   p  va  q   sonlar    3 ga bo’linmasin.

Agar  p 1  yoki  2(mod 3)  va  q 1  yoki  2(mod 3)  bo’lsin ,  bunda  2  hol  qaraladi . 

1)                                                                                                                                                            (mod 3)  bo’lsa  ,  tenglamaning  chap  tarafi  3  ga  bo’linadi  ,  ammo  o’ng  tarafi  3  ga  bo’linmaydi  . 

2)                                                                                                                                                         p q(mod 3)  bo’lsa ,  tenglamaning  o’ng  tarafi  3  ga  bo’linadi  ,  ammo  chap  tarafi  3  ga  bo’linmaydi .   

Agar  p=3  bo’lsa  ,    bo’ladi  .  ZIDDIYAT .

Agar  q=3  bo’lsa ,     algebraik  tenglamani  hosil  qilamiz .   Uning  yechimi   p=7.

JAVOB:   (7,3) . 

3-misol .      Diofant  tenglama  yechimga  ega  emasligini  isbotlang . 

YECHISH:      11  modul  bo’yicha  qaraymiz :

  yoki   1(mod 11)    bo’lgani  uchun ,     yoki  1(mod 11).

Demak ,      yoki  8(mod 11) .  Ammo         yoki  9(mod 11)  bo’lgani  uchun  berilgan  tenglama   butun  yechimlarga  ega  emas .

4-misol .

       sistema  butun  x,y  yechimlarga  ega  bo’lsa  ,   tub  p  ni  toping .

YECHISH:    Faraz  qilamiz  x,y     p+1=2  -  juft ,  demak  p   .

     .     x


Demak   ,   

X=0  yoki  2  va  p=-1  yoki  7  . 

Demak ,  p=7  va  (x,y)  = (25) .

5-misol . nN  bo’lsin  , agar        tenglama  butun  yechimga  ega  bo’lsa  ,   u  holda  y  kamida  3  ta  yechimga  ega  bo’lishini  ko’rsating  .

YECHISH: 

Agar  (x,y) -  yechim  bo’lsa  ,  (y-x, -x)   ham  yechim  bo’ladi ,  bunda  y-x=x , y=-x   tengliklar  bajarilmasligi bois  ,  bu  yechimlar  bir-biri  bilan  ustma-ust  tushmaydi . 

Xuddi  shunday  , 

 

Demak ,  (-y , x-y)  ham  yechim  bo’ladi .