Diofant tenglamalari Сhiziqli Diofant tenglamalari

Сhiziqli Diofant  tenglamalari

 

TA’RIF:    

ko’rinishdagi   Diofant  tenglamalar  chiziqli diofant tenglamalar  deyiladi.  Bu yerda 

n   deb  faraz  qilamiz .

Teorema : (1.1) tenglama  butun  yechimlarga  ega bo’lishi uchun ,  b  son

 EKUB ( )  ga  bo’linishi  zarur va yetarli .

 Agar (1.1) tenglama  yechimga ega bo’lsa  , barcha yechimlari (n-1) ta  butun parametrga bog’liq bo’ladi.

Natija:   o’zaro tub sonlar    bo’lsin.

Agar ( )     (1.4) tenglamani qanoatlantirsa , u holda (1.4)  ning barcha  yechimlari  quyidagicha  topiladi :

     ,  t Z      (1.5)

Endi shunga o’xshash ba’zi bir  diofant tenglamalarning   yechilishlarini  ko’rib  chiqamiz .

Bizdan quyidagicha  diofant  tenglamalarni  yechish  talab  etilgan bo’lsin :   

1-masala .    3x+4y+5z=6

Yechish:    3x+4y   1 (mod 5)  , demak , 3x+4y=1+5S ,     S Z  

U  holda bu  tenglamaning hususiy  yechimi    x= -1+3S   ,    y=1-S  bo’ladi.

(1.5)  ga  ko’ra :  x=-1+3S+4t      ,    y=1-S-3t  

Berilgan  tenglamaga qo’ysak Z=1-S   ni  hosil  qilamiz. Demak ,  umumiy  yechim quyidagicha  bo’ladi.

(x,y,z)=(-1+3S+4t  ,   1-S-3t   ,   1-S)  ,   S,t    Z

 2-masala.     6x+10y-5z=1

Yechilishi:  y 1(mod 3)  ,   demak  y=1+3S  ,  S Z   va 6x-15z = -9-30S     ,   2x-5z=-3-10S

z 1(mod  2)    z=1+2t   ,   t Z    x=1-5S+5t .

demak, tenglamaning yechimi (x,y,z)=(1-5s+5t  ,  1+3s  ,  1+2t )

3- masala.             3x+4y+5z=7

Yechilashi:       Bu  tenglama  3x+4y 2(mod5)   taqqoslamaga  teng  kuchli .Uni quyidagicha  yozish  mumkin  :  3x+4y=2+5s   ,  s Z

3x+4y=9s+6-4-4s      desak  , xususiy  xolda x=3s+2         y=-1-s   yechimga  ega  bo’ladi. 

Bularni  yuqoridagi  tenglamaga  qo’yamiz  ((1.5)ga)  

 Va        x=3s+2+4t       ,      y=-1-s-3t 

  Berilgan   tenglamaga  qo’ysak   ,   z=1-s  kelib   chiqadi .  Demak ,  tenglamaning  yechimi

(x,y,z)=(3s+2+4t , -1-s-3t , 1-s)   ,  s,t Z   ko’rinishda bo’ladi.

 

2. Nochiziqli  Diofant  tenglamalarni  yechish  usullari.

Ko’paytuvchilarga  ajratish usuli.

Bizga 

f( ) =0  (1)

 ko’rinishidagi  Diofant  tenglama   berilgan  bo’lsin ,   bu  yerda f    o’zgaruvchili  butun  koeffitsiyentli    ko’phad.

Bu  tenglamani  quyidagi  ko’rinishga  keltirish  mumkin.  :

     

Bu  yerda    o’zgaruvchili  butun  koeffitsiyentli  ko’phadlar  ,  a  Z.

A  butun  sonni   kanonik  yoyilmasini  olsak  ,chekli  sondagi     ko’paytuvchilarni  hosil  qilish  mumkin.Har  bir  yoyilma  uchun ,

    sistema  yechiladi  va  (1) ning  yechimlari  topiladi.   Bu  usulning  mohiyatini  misollar  yordamida  tushuntiramiz.

   1-misol.       tenglamaning  butun  yechimlarini  toping.

YECHISH :  Tenglamani  quyidagi  ko’rinishda  yozib  olamiz: 

Natijada  quyidagi  tenglamalarni  hosil  qilamiz: 

   yoki  (x+1)(y-1)= 2

1-hol.    (x+1)(y-1)=2    bo’lganda  quyidagi  sistemalarni  hosil  qilamiz.

Bu  sistemalarga  mos  ravishda  quyidagi  yechimlarga  ega  bo’lamiz:                              (1,2),(-3,0),(0,3),(-2,-1).

2-hol.  (x+1)(y-1)=-2   bo’lganda  quyidagi  sistemalarni  hosil  qilamiz:

Bu  sistemalarning  yechimlari  mos  ravishda    (1,0) ,  (-3,2) ,  (0,-1) ,  (-2,3)    bo’ladi.

Bu  ikki hol  javoblarini  birlashtirsak,  yuqorida  berilgan  tenglamaning  yechimlari  ,

(1,2)  ,  (-3,0)  ,  (0,3)  ,  (-2,-1)  ,  (1,0)  ,  (-3,2)  ,  (0,-1)  , (-2,3).

2-misol.    P  va  q  tub  sonlar  bo’lsa  ,

   tenglamaning  natural  yechimlarini  toping.

YECHISH:   Berilgan  tenglamani  quyidagi  ko’rinishga  keltiramiz :   

 (x-pq)(y-pq)=

  ning  barcha  ko’paytuvchilariga  mos  bo’lgan  sistemalarni  yozamiz  :

  ; 

  ; 

  .

Bu  sistemalarni  yechib  quyidagi  javobni  yozamiz.

JAVOB:   (1+pq  ,  pq(1+pq)) ; (p(1+q) , pq(1+pq))  ;  (q(1+p) , pq(1+p))  ;

 (p(p+q) , q(p+q))  ;  (2pq , 2pq )  ;  (pq(1+q) , pq(1+q))  ; ( pq(1+p) , q(1+p))  ; 

(q(p+q) , p(q+p))  ;  (pq(1+pq) , 1+pq)  .

Izoh :  Agar  n=   Diofant  tenglama  jami  bo’lib  ,  (1+2 )…(1+2 )  ta  natural  yechimga  ega.

Haqiqatdan  ham   berilgan   tenglama  (x-n)(y-n)=    ko’rinishga  keltiriladi  . 

   son  jami  (1+2 )…(1+2 )  ta  natural  bo’luvchilarga  ega.  

3-misol.         tenglamani  qanoatlantiradigan  barcha  nomanfiy  bo’lgan  butun  x, y  sonlar  topilsin.

YECHISH:  Berilgan  tenglamani  quyidagi  ko’rinishlarga  keltiramiz :

(xy-6-(x+y))(xy-6+x+y)=-13  .   bu  tenglamadan  quyidagi  sistemalarni   hosil  qilamiz :

   

Bu  sistemalar  esa  quyidagi  sistemalarga  teng  kuchli  :

     .    Ravshanki  bu  sistemalar  quyidagi  nomanfiy  yechimlarga  ega  : 

(3 , 4)  ;  (4 , 3)  ;  (0 , 7)  ;  (7 , 0)  .

JAVOB:  (3 , 4)  ;  (4 , 3)  ;  (0 , 7)  ;  (7 , 0)  .

4-misol .       tenglamaning  butun  yechimlarini  toping  . YECHISH:   x=u+1  ,  y=v+1  almashtirishlarni  bajargandan  so’ng  ,  berilgan  tenglama  ,     tenglamaga  keladi.

U  quyidagi    tenglamaga  ekvivalent  :

         uv(u+v)+4uv+(u+v)=1

  Oxirgi  tenglamani  uv(u+v+4)+(u+v+4)=5    yoki  (u+v+4)(uv+1)=5   tenglamaga  keltiramiz  .  5  ni  5=5*1=(-5)*(-1)=1*5=(-1)*(-5)  ko’rinishlarda  ifodalash  mumkinligidan  ,  quyidagi  sistemalarga  ega  bo’lamiz  : 

 

 SHu  sistemalardan  faqat  birinchisi   va  to’rtinchisi  butun  yechimlarga  ega  :

 (0 , 1)  ;  (1 , 0)  ;  (-6 , 1)  ;  (1 , -6).

(x , y)= (u+1 , v+1)  bo’lgani  uchun  (1 , 2)  ;  (-5 , 2)  ;  (2 , 1)  ;  (2 , -5)  javobni  hosil qilamiz. 

JAVOB: (1 , 2)  ;  (-5 , 2)  ;  (2 , 1)  ;  (2 , -5) .

5-masala  .     tenglamani  natural  sonlarda  yeching   ,  bu  yerda  p 3  bo’lgan  tub  son.

YECHISH:   Ravshanki  ,  berilgan  tenglama    (x+y+z)( )=p  tenglamaga  teng  kuchli  .

X+y+z 1  bo’lganligi  uchun  ,

  sistemani  hosil  qilamiz . 

 Oxirgi  tenglamani  quyidagicha  yozamiz :

    

  Umumiylikka  zarar  yetkazmagan  holda  , x   deb  olamiz.

Agar     bo’lsa  ,  x-y 1  ,  y-z 1    va   x-z 2  bo’lib  , 

    bo’ladi   , demak  x=y=z+1  yoki  x-1=y=z   .

p-tub  son  uchun  quyidagi  2  hol  mavjudligiga  kelish  mumkin  .

1-hol  .   p=3k+1  .  Bu  holda  ( )  uchlik  va  uning  mos  o’rin  almashtirishlarini  yechimlar  sifatida  olish  mumkin.

 2-hol .      p=3k+2    .   Bu  holda  (  )    uchlik  va  uning  mos  o’rin  almashtirishlari  yechimlarni  tashkil  etadi . 

JAVOB:   ( )     ;        (  )  .  va  ularning  o’rin  almashtirishlari  .

6-masala.              tenglamaning  butun  yechimlarini  toping.

YECHISH:   Dastlab tenglamaning chap  tarafini  ko’paytuvchilarga  ajratamiz:

Demak ,     ;       ;      ; 

Bu  sistemalarni  yechib  ,   (0 , -1)  ;  (3 , -2)  ;  (3 , -1)  ;  (6 , -2) .  yechimlarni  hosil  qilamiz.

JAVOB:   (0 , -1)  ;  (3 , -2)  ;  (3 , -1)  ;  (6 , -2) . 

7-masala.          Ixtiyoriy  n N  uchun  S(n)   orqali       tenglamaning  butun  yechimlarining  (x,y)  juftliklar  sonini   belgilaymiz.  S(n) = 5  bo’lsa ,  n  ni  toping.

YECHISH:   n=   bo’lsin  ,  2-misolimizning  izohiga  ko’ra  ,

(1+2 )…(1+2 )=5  bo’ladi.

Demak ,  k=1  va   =2  ya’ni  ,  n=    ,  bu  yerda  p-tub  son.

8-masala:     p  va  q  - tub  sonlar  bo’lsa ,       tenglama  nechta  natural  yechimga  ega?

YECHISH:  Berilgan  tenglamani  (x-p)(y-q)=pq   ko’rinishda   yozamiz. 

Bundan  ko’rinadiki  ,  bu  tenglamaning  to’rtta   yechimi  mavjud . 

Ular  (1+p , q(1+p))  ;  (2p , 2q)  ;  (p+q ,p+q)  ;  (p(1+q) , 1+q)

JAVOB:  4  ta.

IZOH:     tenglamaning  natural  yechimlari  sonini  S(m,n)  orqali  belgilaymiz. 

(N)-N  sonning natural  bo’luvchilari  sonini  belgilasak  ,

S(m,n)= (mn)=    tenglik  o’rinli  ,  bu  yerda  (m,n)=EKUB(M,N).

Agar    n=    ,m=   bo’lsa  ,  bu  yerda  0    ,  u  holda  S(m,n)=(1+ )…    bo’ladi  .Bu  yerda  

9-  masala.          tenglamani  natural  sonlarda  yeching.

YECHISH:  Berilgan  tenglamaning   2  tarafini  27 ga  ko’paytirib  1 ni ayiramiz. 

Ma’lumki  ,    

        (5-masalaga  qarang)

Demak , 

(3x-3y-1)( )=2*823

Ikkinchi ko’paytuvchi  birinchidan  kata bo’lgani uchun   3x-3y-1 2(mod3) 3x-3y-1=2  va  

Bu  tengliklarni  sistema  qilib  yechsak  ,  (6,5)  javobga  ega  bo’lamiz.

JAVOB;  (6,5).

10-masala.     X-tub  son  bo’lsa   ,  x- =4  Diofant  tenglamani  yeching.

YECHISH:   x=        x=      x-tub  son  bo’lgani  uchun  ,   y= 1  bo’lishi  shart  .

Demak ,  bu  tenglamaning   javobi  :  (5 , 1)  ;  (5 , -1).

11-masala.         Diofant  tenglamani  yeching  .

YECHISH:   Tenglamaning  2  tarafini  4 ga  ko’paytiramiz,       va  uni  quyidagicha  yozib  olamiz  :

   va        .  So’nggi  tenglamani  ko’paytuvchilarga  ajratamiz . 

   .  Bu  tenglik  esa  ,  quyidagi  tenglamalar  sistemasiga  teng  kuchli:

      ;    ;

       ;                          .

Bu  sistemalar  (0 , 1)    va  (0 , -1)  yechimlarga  ega  .

JAVOB:  (0 , 1)  ;  (0 , -1) .

12-masala.         tenglamaning  nolmas  butun  yechimlarini  toping .

 YECHISH:   Qavslarni  hadma-had  ko’pay7tirib  ,  darajaga  ko’tarib  ,  y  ga  qisqartirib  ,  ya’ni  y  ga  bo’lib  yuborganimizdan  so’ng ,  berilgan  tenglama  quyidagicha  ko’rinishga  ega  bo’ladi : 

    Bu  tenglamani  y  ga  nisbatan  kvadrat  tenglama  deb  qarasak  ,  uning  D=x   diskriminanti    biror  butun  sonning  kvadrati  bo’lishi  shart .

 

Demak ,  x(x-8)=         ,      (x-z-4)(x+z-4)=16  bo’ladi . 

Bundan  x    kelib  chiqadi . 

Berilgan  tenglama  (-1 , -1)  ;  (8 , -10)  ;  (9 , -10)  ;  (9 , -21)    yechimlarga  ega.

13-masala.    1    shartni  qanoatlantiradigan  shunday  a,b,c  butun  sonlar  topilsinki  ,  ular  uchun     abc-1     son  (a-1)(b-1)(c-1)   songa  bo’linadi. 

YECHISH:   a-1=x  ,  b-1=y  ,  c-1=z  ,   bo’lsa ,  0

F(x,y,z) =   bo’lsin . 

F  funksiya  har  bir  argument  bo’yicha  kamayuvchi   ,   demak  ,

  f(x,y,z)

Demak  ,  f(x,y,z)=1  yoki   f(x,y,z)=2   va  xy+yz+xz+x+y+z=kxyz  ,  k   

F(3,4,5)=     ,  demak   x    .

F(2,3,4)=   ,  demak  x=2  uchun  ,  k=1 

1-hol  .  x=1  ,  k=1   ,    1+2(y+z) +yz=yz   yechim  yo’q.

2-hol .  x=1  ,  k=2   1+2(y+z)=yz    (y-2)(z-2)=5   ,  demak  y-2=1 ,    z-2=5   va  (3 , 7)  yagona  yechim.

3- hol .  x=2  ,  k=1  ,  2+3(y+z) =yz    (y-3)(z-3)=11  ,  demak  y-3=1  ,  z-3=11    va  (4 , 15)   yagona  yechim.

Ikkinchi  va  uchinchi holdan  a=2  ,  b=4  ,  c=8  , va a=3  ,  b=5  ,  c=16     yechimlarni  hosil  qilamiz.

JAVOB:  (2 , 4 , 8)  ;  (3 , 5 , 16) .

14-masala.       Tomonlari  butun  sonlardan iborat  va perimetri  yuza  bilan  teng  bo’lgan  to’g’ri  burchakli  uchburchaklarni  aniqlang .

YECHISH:   x , y-katetlar ,   z – gipotenuza  bo’lsin ,

 u  holda             

    



/:  xy

Xy-4x-4y+8=0   ,    (x-4)(y-4)=8     bo’ladi.

(x,y)   

JAVOB:   (6 , 8 , 10)  ;  (5 , 12 , 13) .

15-masala. 

      sistemani  qanoatlantiradigan  butun  (x,y,z,u,v)  beshliklar  topilsin.

YECHISH:   Birinchi  tenglamadan  ikkinchi  tenglamani  ayiramiz  :

(x+y-xy)+(u+v-uv)=(x+y-xy)(u+v-uv)    yoki     (x+y-xy-1)(u+v-uv-1)=1   ,

 (1-x)(1-y)(1-u)(1-v)=1  .  Bundan 

(x,y,u,v)

JAVOB:   (0,0,0,0,0)  ;  (0,0,-4,2,2)  ;  (0,2,0,0,2)  ;  (0,2,0,2,0)  ;

                 (2,0,0,0,2)  ;  (2,0,0,2,0)  ;  (2,2,-4,0,0)  ;  (2,2,24,2,2) . 

 

TA’RIF:      (2.1)  ko’rinishdagi  diofant  tenglama   qadimgi  VAVILONDA ham  ma’lum  bo’lgan .

   Agar (              tenglamaning  yechimi  bo’lsa ,  (k   uchlik  ham (2.1) ning  yechimi  bo’ladi.

  Demak , EKUB (x,y,z) =1  shartni  qanoatlantiruvchi (x,y,z) yechimlarni topish  yetarli. Bunday  uchliklar  primitiv yechim deyiladi . Primitiv  yechimdagi  sonlar  o’zaro  tubdir.

Teorema: (2.1)  tenglamaning  primitive  yechimi  quyidagicha  ko’rinishga  ega:

    X=                  y=2mn                   z=       (2.2)

Bu  yerda           m ;        m,n – o’zaro  tub natural  sonlar.

ISBOT:   x va y  ning  2  lasi  ham  toq  bo’la olmaydi , chunki          

  Bu esa ziddiyat.  Demak  x  va  y  sonlardan  aqalli bittasi juft  bo’ladi.

(       ayniyatdan   (2.2) haqiqatdan  ham  (2.1) ning  yechimi  ekanligi ko’rsatilmoqda ,  bunda  y- juft.

  Agar  EKUB (x,y,z) =d  2  bo’lsa ,    2

Sonlar d ga qoldiqsiz  bo’linadi. 

m  va  n  o’zaro tub bo’lgani  uchun ,  bundan d=1,2  ekanligi  kelib  chiqadi.

 juft bo’lganligi  uchun  d=2  bo’la  olmaydi .

 Demak ,  d=1  , ya’ni  (2.2)  tengliklar   primitiv     yechimlarni     hosil  qiladi.

Boshqa  tarafdan  (x,y,z)   (2.1)  ning   primitiv    yechimi   bo’lsin  , bunda y=2a ,  x  va  z  ikkalasi  ham  toq     bo’lgani  bois,   z+x =2b         z-x=2c    bo’ladi  ,   bu yerda  b  va  c  o’zaro  tub  sonlar ,  aks  holda  z  va  x o’zaro  tub  bo’lmaydi  .

4      ya’ni          b=c   o’zaro tub  bo’lgani  uchun  b=      

 Bundan, x=b-c=      

Quyida  biz ayrim  primitiv         pifagor  uchliklarini  keltiramiz: