Дифракция волн. Уравнение одномерной волны. Продолные волны в твердых телах. Энергетические соотношения

1. Дифракция волн.
ДИФРА́КЦИЯ ВОЛН, в пер­во­на­чаль­ном уз­ком смыс­ле – оги­ба­ние вол­на­ми пре­пят­ст­вий, в со­вре­мен­ном, бо­лее ши­ро­ком – лю­бые от­кло­не­ния от за­ко­нов гео­мет­ри­че­ской оп­ти­ки при рас­про­стра­не­нии волн. При та­ком об­щем тол­ко­ва­нии Д. в. тес­но пе­ре­пле­та­ет­ся с яв­ле­ния­ми рас­про­стра­не­ния и рас­сея­ния волн в не­од­но­род­ных сре­дах. Вол­ны при ди­фрак­ции мо­гут по­па­дать в об­ласть гео­мет­рич. те­ни: оги­бать пре­пят­ст­вия, сте­лить­ся вдоль по­верх­но­стей, про­ни­кать че­рез не­боль­шие от­вер­стия в эк­ра­нах и т. п. Напр., ра­дио­вол­на мо­жет про­ник­нуть за го­ри­зонт да­же без от­ра­же­ния от ио­но­сфе­ры, а звук мо­жет быть ус­лы­шан за уг­лом до­ма.

Рис. 1. Схема дифракции волн от края экрана по Юнгу.
Пер­вая вол­но­вая трак­тов­ка Д. в. да­на для све­та Т. Юн­гом (1800), вто­рая – О. Фре­не­лем (1815–18). Кар­ти­ну вол­но­во­го по­ля, воз­ни­каю­щую за пре­пят­ст­ви­ем, Юнг счи­тал со­че­та­ни­ем соб­ст­вен­но ди­фрак­ции и ин­тер­фе­рен­ции волн. Для объ­яс­не­ния Д. в., кро­ме обыч­ных за­ко­нов рас­про­стра­не­ния волн в на­прав­ле­нии лу­чей, он ввёл прин­цип по­пе­реч­ной пе­ре­да­чи ам­пли­ту­ды ко­ле­ба­ний не­по­сред­ст­вен­но вдоль вол­но­вых фрон­тов (по­пе­реч­ной диф­фу­зии), ука­зав, что ско­рость этой пе­ре­да­чи про­пор­цио­наль­на дли­не вол­ны и пе­ре­па­ду ам­пли­туд на фрон­те. Со­глас­но Юн­гу, ди­фра­ги­ро­ван­ная вол­на воз­ни­ка­ет ло­каль­но в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти гра­ни­цы те­ни за кра­ем пре­пят­ст­вия. Ана­ло­гич­ная ди­фра­ги­ро­ван­ная вол­на об­ра­зу­ет­ся и в ос­ве­щён­ной об­лас­ти, так что в це­лом фор­ми­ру­ет­ся по­ле ци­лин­д­рич. вол­ны, как бы ис­пус­кае­мой кра­ем по­верх­но­сти пре­пят­ст­вия SS (рис. 1). Ин­тер­фе­рен­ция ди­фра­ги­ро­ван­ной вол­ны с не за­сло­нён­ной пре­пят­ст­ви­ем ча­стью па­даю­щей вол­ны объ­яс­ня­ет по­яв­ле­ние на эк­ра­не B′B′ ин­тер­фе­рен­ци­он­ных по­лос, рас­по­ло­жен­ных вы­ше гра­ни­цы те­ни BB′BB′, и от­сут­ст­вие их в ниж­ней час­ти.

Рис. 2. Схема дифракции волн от края экрана по Френелю.

Рис. 3. Построение дифракционной картины за отверстием по Френелю (разбиение на зоны Френеля).
О. Фре­нель от­ка­зал­ся от ло­каль­но­го юн­гов­ско­го под­хо­да и пред­ло­жил свой инте­граль­ный ме­тод, опи­раю­щий­ся на сфор­му­ли­ро­ван­ный ра­нее (1690) прин­цип Гюй­ген­са (см. Гюй­ген­са – Фре­не­ля прин­цип). Со­глас­но Фре­не­лю, ди­фрак­ци­он­ное по­ле мо­жет быть пред­став­ле­но как ре­зуль­тат ин­тер­фе­рен­ции по­лей фик­тив­ных вто­рич­ных ис­точ­ни­ков, рас­пре­де­лён­ных по всей не за­кры­той пре­пят­ст­ви­ем час­ти фрон­та па­даю­щей вол­ны (рис. 2) и имею­щих ам­пли­ту­ду и фа­зу, про­пор­цио­наль­ные та­ко­вым у этой вол­ны. Фре­нель раз­бил по­верх­ность, за­ня­тую вто­рич­ны­ми ис­точ­ни­ка­ми, на по­лувол­но­вые зо­ны (т. н. Фре­не­ля зо­ны, рис. 3). Ха­рак­тер Д. в. за­ви­сит от то­го, сколь­ко зон ук­ла­ды­ва­ет­ся в от­вер­стии, или от зна­че­ния фре­не­лев­ско­го (вол­но­во­го) па­ра­мет­ра pp, рав­но­го от­но­ше­нию раз­ме­ра пер­вой зо­ны Фре­не­ля к ра­диу­су aa от­вер­стия, p=λz−−√/ap=λz/a (zz – ко­ор­ди­на­та точ­ки на­блю­де­ния, λλ – дли­на вол­ны). В за­ви­си­мо­сти от ве­ли­чи­ны pp раз­ли­ча­ют сле­дую­щие об­лас­ти Д. в.: гео­мет­ро­оп­ти­че­скую, или про­жек­тор­ную, об­ласть, p≪1p≪1; об­ласть ди­фрак­ции Фре­не­ля, pp по­ряд­ка 1; об­ласть ди­фрак­ции Фра­ун­го­фе­ра, p≫1p≫1. При фик­си­ро­ван­ных aa и λλ эти об­лас­ти рас­по­ло­же­ны по­сле­до­ва­тель­но, по ме­ре уда­ле­ния точ­ки на­блю­де­ния от от­вер­стия (т. е. с уве­ли­че­ни­ем zz). В пер­вой, при­ле­гаю­щей к от­вер­стию об­лас­ти (z≪a2/λ)(z≪a2/λ) по­пе­реч­ное рас­пре­де­ле­ние ам­пли­ту­ды по­вто­ря­ет рас­пре­де­ле­ние ам­пли­ту­ды на са­мом от­вер­стии и от­ве­ча­ет при­бли­же­нию гео­мет­рич. оп­ти­ки. Во вто­рой зо­не (zz по­ряд­ка a2/λa2/λ) по­пе­реч­ное рас­пре­де­ле­ние ам­пли­ту­ды су­ще­ст­вен­но ис­ка­жа­ет­ся. На­чи­ная с этих рас­стоя­ний, вол­но­вой пу­чок от­но­си­тель­но бы­ст­ро рас­ши­ря­ет­ся из-за ди­фрак­ции. В треть­ей, уда­лён­ной об­лас­ти (z≫a2/λ)(z≫a2/λ) ди­фрак­ци­он­ное по­ле пред­став­ля­ет со­бой рас­хо­дя­щую­ся сфе­рич. вол­ну с ло­каль­но пло­ской струк­ту­рой, об­ла­даю­щую оп­ре­де­лён­ной на­прав­лен­но­стью. Т. о., наи­бо­лее от­чёт­ли­во Д. в. про­яв­ля­ет­ся во фре­не­лев­ской об­лас­ти, т. е. с рас­стоя­ний zz по­ряд­ка a2/λa2/λ. Имен­но по­это­му Д. в. на во­де (λλ по­ряд­ка 1 м) или диф­рак­ция зву­ка в воз­ду­хе (λλ по­ряд­ка 0,1 м) мо­жет на­блю­дать­ся прак­ти­че­ски все­гда, ди­фрак­ция све­та (λλ по­ряд­ка 10^–3–10^–4 м) тре­бу­ет вы­пол­не­ния осо­бых ус­ло­вий (иголь­ча­тое от­вер­стие, ост­рый край брит­вы и т. п.), а для ди­фрак­ции рент­ге­нов­ских лу­чей (λλ по­ряд­ка 10^–6–10^–8 м) ис­поль­зу­ют кри­стал­лич. ре­шёт­ки.
Позд­нее бы­ло по­ка­за­но, что в рав­ных ус­ло­ви­ях оба под­хо­да (и Юн­га, и Фре­не­ля) при­во­дят к оди­на­ко­вым ре­зуль­та­там, од­на­ко при кон­крет­ных рас­смот­ре­ни­ях од­но­му из них мо­жет быть от­да­но ме­то­дич. пред­поч­те­ние. Сле­ду­ет под­черк­нуть, что ши­ро­кое раз­ви­тие иду­ще­го от Юн­га ме­то­да по­пе­реч­ной диф­фу­зии свя­за­но с ос­вое­ни­ем всё бо­лее ко­рот­ко­вол­но­вых элек­тро­маг­нит­ных диа­па­зо­нов (с по­яв­ле­ни­ем ма­зе­ров, ла­зе­ров и т. п.) и не­об­хо­ди­мо­стью со­от­вет­ст­вую­ще­го «элек­тро­ди­на­ми­че­ско­го обес­пе­че­ния» (см. Ква­зи­оп­ти­ка). Бо­лее то­го, этот ме­тод ока­зал­ся аде­к­ват­ным не­ко­то­рым не­ли­ней­ным ди­фрак­ци­он­ным за­да­чам ти­па са­мо­фо­ку­си­ров­ки и са­мо­ка­на­ли­ро­ва­ния элек­тро­маг­нит­ных волн.
Яв­ле­ние ди­фрак­ции име­ет ме­сто и в мик­ро­ми­ре (см. Ди­фрак­ция час­тиц), по­сколь­ку объ­ек­там кван­то­вой ме­ха­ни­ки свой­ст­вен­но вол­но­вое по­ве­де­ние.