Differensial tenglamaning yechimi haqida tushuncha

1.
DIFFERENSIAL TENGLAMANING YECHIMI HAQIDA TUSHUNCHA

Oddiy differensial tenglama deb erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya va uning hosilalarini uzida saqlovchi tenglamalarga aytiladi. Umumiy holda bunday tenglamalar

F(x,y,y^’,y^’’,…,y⁽ⁿ⁾ )=0 (1)

ko‘rinishida bo‘ladi.
Agar noma’lum funksiya bir necha o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lib, tenglamada erkli o‘zgaruvchilar, noma’lum funksiya va uning xususiy hosilalari katnashsa, bunday tenglamaga xususiy hosilali differensial tenglama deyladi.
Masalan:
. (2)
Differensial tenglamaning tartibi deb berilgan tenglamaga kiruvchi hosilaning eng yuqori tartibiga aytladi.
Masalan: F(x,y,y^’,y^’’)=0 tenglamaga 2-tartibli differensial tenglama deyiladi,chunki tenglamada nomalu’m funksiyaning eng tartibli hosilasi ikkiga teng. Shuningdek tenglamaga 3-tartibli differensial tenglama deyiladi.
Differensial tenglamaning yechimi deb tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga aylantiradigan ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Differensial tenglamaning yechimini topish jarayoniga uni integrallash deyiladi. Differensial tenglamaning yechimining grafigi integral egri chiziq bo‘ladi. Agar yechim oshkormas F(x,y)=0 ko‘rinishda bo‘lsa, u holda bu yechimga differensial tenglamaning integrali deyiladi.
Differensial tenglamalar nazariyasida boshlang‘ich shart yoki KOShI masalasi muhim rol uynaydi.
Birinchi tartibli
y'=f(x,y)
tenglama berilgan bulsin. Bunda f(x,y) funksiya D= R² soxada aniqlangan va uzluksiz. (3) tenlama uchun Koshi masalasi quyidagicha:
Berilgan differensial tenglamaning barcha yechimlari orasidan u(x₀)=y₀ boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi, bunda x₀ va y₀ berilgan boshlang‘ich qiymatlar bo‘lib, (x₀ ,y₀) D
Boshlang‘ich shart ko‘rinishda yozilishi ham mumkin. Boshlang‘ich shartdan foydalangan holda (3) ko‘rinishdagi tenglamani yechimini mavjudligi va yagonaligi xakidagi quyidagi teoremani keltiramiz.
Teorema. Agar (3) tenglamada f(x,y) funksiya va uning u bo‘yicha xususiy hosilasi , (x₀, u₀ ) nuqtani uzida saklovchi ixtiyoriy DR² soxada uzluksiz bo‘lsa, u holda (3) tenglamaning u(x₀)=u₀ shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo‘ladi. (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi deb ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liq bo‘lgan (x,s) funksiyaga aytiladi.
Bu yechim: a) (x,c) funksiya D soxada uzluksiz bo‘lib, (3) tenglamani s o‘zgarmasning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarida qanoatlantiradi;
b) y(x₀)=y₀ boshlang‘ich shart kanday bo‘lishidan kat’iy nazar s o‘zgarmasning shunday s₀ qiymati topiladiki, (x, s₀) yechim berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi;
u=(x,s₀) yechimga y(x₀)=y₀ boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi (3) tenglamaning xususiy yechimi deyiladi. Kup xollarda tenglamaning umumiy yechimi oshkormas
F(x,y,c)=0 (4)
ko‘rinishda bo‘ladi. Keltirilgan teoremaga asosan, agar yechimning xar bir nuqtasida boshlang‘ich u(x₀)=u₀ shartni qanoatlantiruvchi (3) tenglama yagona u=(x,s₀) yechimga ega bo‘lsa, bu yechim tenglamaning xususiy yechimi deyiladi. Aksincha agar yechimning xar bir nuqtasida boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi (3) tenglama yagona yechimga ega bulmasa bunday yechim maxsus yechim deyiladi.
Demak (3) differensial tenglamaning maxsus yechimi xech qaysi bir s ning xususiy qiymatlarida umumiy u=(x,c) yechimidan kelib chikmaydigan yechimlari bular ekan.
Agar (3) differensial tenglamaning (4) ko‘rinishdagi umumiy integrali ma’lum bo‘lsa, (4) tenglama va (x,c)=0 tenglamadan s ni yo‘qotsak (x,y)=0 tenglamaga ega bulamiz. Agar (x,y)=0 funksiya (3) tenglamani qanoatlantirsa, u holda buni tenglamaning maxsus integrali deyiladi. (x,y)=0 ham integral egri chiziqlarni tashkil kilib, F(x,y,c)=0 integral egri chiziqlar oilasiga kirmaydi.
Geometrik nuqtai nazardan maxsus yechimni ifodalovchi egri chiziqning xar bir nuqtasidan xech bo‘lmaganda 2 ta integral egri chiziq utadi. Ya’ni maxsus yechimning xar bir nuqtasida tenglama yechimining yagonaligi buziladi. Kamida ikkita integral egri chiziq o‘tuvchi nuqtaga maxsus nuqta deyiladi. Demak maxsus yechimlar maxsus nuqtalardan tashkil topar ekan.
Karalayotgan differensial tenglamaning tartibiga bog‘liq holda, berilgan tenglamaning umumiy yechimida shuncha ixtiyoriy o‘zgarmaslar bo‘ladi. Ba’zi xollarda noma’lum funksiyani x va erkli o‘zgaruvchini u deb olish maqsadga muvofik bo‘ladi, u holda (3) tenglama
x'=g(x,y) (3')
ko‘rinishga keladi, bunda
.
(3) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. (3) tenglamaninig ung tomonidagi f(x,y) funksiyaning berilishiga karab, differensial tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan, bir jinsli, chiziqli yoki chiziqli bo‘lmagan tenglamalarga ajraladi.