Differensial tenglamalarning tadbiqlari. Taqribiy yechish usullari: Eyler, Runge-Kutta va ketma-ket yaqinlashish usullari. Dasturlar majmuasidan foydalanish. Differensial tenglamalarning amaliy masalalarni yechishga tadbiqlari

Masalani yeching

1. Pivo achitqisini tayyorlashda ishlatiladigan ta’sir qiluvchi ferment miqdorini o’sish tezligi uning shu paytdagi x miqdoriga proportsional. Fermentni boshlang’ich miqdori ga teng. Bir soatdan so’ng u ikki marta ko’paygan bo’lsa, uch soatdan keyin necha marta ko’payadi?

2. Ma’lum balandlikdan massasi m bo’lgan jism vertikal yo’nalishda pastga tashlab yuborildi. Agar bu jismga og’irlik kuchi va havoning jism tezligiga proportsional (proportsionallik koeffitsienti R) bo’lgan qarshilik kuchi ta’sir qilayotgan bo’lsa, uning tushish tezligining o’zgarish qonunini toping.

3. Uchuvchining parashyut bilan birgalikdagi og’irligi 80 kg. Havoning qarshiligi uning tezligi ning kvadratiga proportsional (proportsionallik koeffitsienti k = 400). Vaqtga bog’liq ravishda tushish tezligini va tushishdagi eng katta tezlikni toping.

4. Shamol o’rmon orqali o’tayotib, daraxtlar qarshiligiga uchrash natijasida o’z tezligining bir qismini yo’qotadi. Bosib o’tilgan yo’l cheksiz kichik bo’lsa, bu yo’qotish boshlang’ich tezlikka va yo’l uzunligiga to’g’ri proportsional bo’ladi. Agar shamolning boshlang’ich tezligi m/s o’rmonda S = 1 m yo’l bosib o’tgandan keyingi tezligi m/s bo’lsa, o’rmonda 150 m yo’l bosib o’tgan shamolning tezligini toping.

5. Massasi m bo’lgan jism 250 m balandlikdan og’irlik kuchi havoning qarshilik kuchi ta’sirida tushayotgan bo’lsin. Qarshilik kuchini tezlikka proportsional (proportsionallik koeffitsenti R) deb olib, jismning harakat qonuni h=f (t) ni va jism tusha boshlagandan necha minut keyin erga etib kelishini aniqlang.

6. O’lchamlari 60 75 sm, balandligi 80 sm bo’lgan to’g’ri burchakli parallelepiped shaklidagi idishga har sekunda 1,8 l suv tushayotgan bo’lsin. Uning ostki qismida yuzi bo’lgan teshik bor. Idish qancha vaqtda to’ladi? Natijani xuddi shunday, lekin teshigi bo’lmagan idishning to’lish vaqti bilan solishtiring. (Suvning sathi teshikdan h balandlikda bo’lganda, oqib chiqayotgan suvning tezligi bo’ladi, deb hisoblansin).

Diametri 2R = 1,8 m va balandligi H = 2,45 m bo’lgan tsilindr shaklidagi idishdagi suv uning ostki qismidagi 2r = 6 diametrli teshikdan qancha vaqtda oqib tushadi? Tsilindr o’qi gorizontal joylashgan, suvning sathi teshikdan h balandlikda bo’lganda uning tezligi bo’ladi, deb hisoblansin.

8. Motorli qayiq uning tezligiga proportsional bo’lgan suvning qarshiligi ta’sirida o’z tezligini pasaytiradi. Qayiqning boshlang’ich tezligi 1,5 m/s bo’lib, 4 sekunddan keyin uning tezligi 1 m/s bo’ladi. Qachon qayiqning tezligi 1 sm/s ga teng bo’ladi? Qayiq to’xtaguncha qancha yo’l bosib o’tadi?

9. Idish konus shaklida bo’lib, asosining radiusi R = 6 sm, balandligi H = 10 sm uchi esa pastga qaratilgan. Agar idishning uchida 0,5 sm diametrli teshik bo’lsa, undagi to’la suv qancha vaqtda oqib bo’ladi? Suvning satxi teshikdan h balandlikda bo’lganda uning tezligi bo’ladi, deb hisoblansin.

10. Ostki qismida teshigi bor bo’lgan tsilindr shaklidagi idish vertikal ravishda qo’yilgan. Idishdagi to’la suvning yarmi teshikdan 5 minutda oqib tushadi. Qancha vaqtda hamma suv oqib bo’ladi? Suvning sathi teshikdan h balandlikda bo’lganda, uning tezligi bo’ladi, deb hisoblansin.

лади, деб ҳисоблансин.