Differensial tenglamalarni, unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O’zbekiston, balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o’rganadi

II BOB. SINGULYAR INTEGRAL TENGLAMALAR

2.1. Integralning bosh qiymati

Matematik analiz kursidan maʼlumki, integral yig’indilarning limiti sifatida aniqlangan integral faqat chegaralangan funksiyalar uchun ma’noga egadir. Agar integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo’lsa, u holda xosmas integral tushunchasi kiritiladi. Buni eslatib o’tamiz.
funksiya kesmada aniqlangan bo’lib, bu kesmaning nuqtasi atrofida chegaralanmagan bo’lsin. Lekin musbat va sonlar qanday kichik bo’lmasin funksiya , kesmalarning har birida integrallanuvchi bo’lsin. Ushbu
(2.1)
yig’indini tuzamiz.
Agar bu yig’indi va bir-biriga bog’liq bo’lmay nolga intilganda limitga ega bo’lsa, bu limit funksiyaning xosmas integrali deyiladi.
.
(2.1) yig’indi, va bir-biriga bog’liq bo’lmay nolga intilganda limitga ega bo’lmasligi, lekin va biror munosabat bilan bog’liq bo’lib nolga intilganda limita mavjud bo’lishi mumkin.
Misol uchun , funksiyani tekshiramiz. (2.1) yig’indini tuzib,
(2.2)
tenglikka ega bo’lamiz. (2.2) miqdor va nolga intilganda limitga intilmaydi, chunki nisbat bu holda ixtiyoriy o’zgarishi mumkin. Agar va bir-biriga bog’liq bo’lsa, masalan , bunda - musbat o’zgarmas, u holda (2.2) yig’indi limitga ega bo’lib, bu limit

ga teng bo’ladi. Xususiy holda desak,

tenglikni hosil qilamiz. Bu misoldan so’ng quyidagi ta’rifni kiritamiz.
funksiya kesmada aniqlangan bo’lib, musbat son qanday kichik bo’lmasin bu funksiya va kesmalarda integrallanuvchi bo’lsin. Ushbu limit (agar u mavjud bo’lsa)

funksiyadan oraliqda olingan integralning Koshi ma’nosidagi bosh qiymati deyiladi.
“Ingtegralning bosh qiymati” o’rniga ko’pincha singulyar (maxsus) integral deb aytiladi.
Biz singulyar integralni oddiy

simvol bilan belgilaymiz. Singulyar integralni ifodalashda
; ;
simvollar ham ishlatiladi, bunda va - fransuzcha valeur principale so’zlarining birinchi harflari bo’lib, o’zbekchada “bosh qiymat” ni bildiradi. Agar oddiy (xos yoki xosmas) integral mavjud bo’lsa, singulyar integral bu oddiy integral bilan ustma-ust tushadi. (2.2) formuladan ushbu
(2.3)
singulyar integralning mavjudligi kelib chiqadi.
funksiya kesmada aniqlangan bo’lsin. Agar kesmaning ixtiyoriy ikkita va nuqtasi uchun

shart bajarilsa, funksiya kesmada Gyolder(H) shartini qanoatlantiradi deyiladi, bundagi , — musbat o’zgarmas sonlar, shu bilan birga . — Gyolder o’zgarmasi, — Gyolder ko’rsatkichi deb yuritiladi.
Bu ta’rifda funksiya kesmada berilgan edi. Ammo funksiya biror ochiq yoki yopiq egri chiziqda berilishi ham mumkin. Ikki o’zgaruvchili funksiya uchun ta’rifni shu hol uchun beramiz.
— ochiq yoki yopiq silliq egri chiziq bo’lib, da berilgan funksiya bo’lsin. Agar da yotuvchi ikki juft va nuqtalar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya da Gyolder(H) shartini qanoatlantiradi deb aytiladi, bunda , , — musbat o’zgarmas sonlar, shu bilan birga , .
Endi, yuqorida ko’rgan integraldan umumiyroq
(2.4)
integralni tekshiramiz, bunda — Gyolder shartini qanoatlantiruvchi biror funksiya. Bu integralni

ko’rinishda yozib olamiz. Bu tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integral xosmas integral sifatida mavjud, chunki Gyolder shartiga asosan
,
ikkinchi integral esa (2.3) bilan ustma-ust tushadi, ya’ni u singulyar integraldir.
Shunday qilib, funksiya Gyolder shartini qanoatlantirsa, (2.4) integral Koshi bo’yicha bosh qiymat ma’nosida mavjud bo’lib, u quyidagiga teng bo’ladi.

Singulyar integral tushunchasi egri chiziqli integrallar uchun ham xuddi yuqoridagiday kiritiladi.
— bo’laklari silliq yopiq yoki ochiq egri chiziq bo’lsin. egri chiziq yoyining biror nuqtadan boshlab sanaladigan uzunligi bo’lsin. Egri chiziq parametrik tenglamasidagi , funksiyalar ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin, ya’ni egri chiziqning egriligi uzluksiz. , — yetarli kichik radiusli aylana, — yopiq doiradan tashqarida yotuvchi ning qismi bo’lsin. Ravshanki,

integral oddiy tushunchada ma’noga ega.
Agar

limit mavjud bo’lsa, u integralning Koshi ma’nosidagi bosh qiymati yoki singulyar integral deyiladi. Buni ham, xuddi yuqoridagidek, integralning oddiy simvoli bilan belgilaymiz:
. (2.5)
Agar funksiya Gyolder shartini qanoatlantirsa, (2.5) singulyar integral mavjud bo’ladi.
Endi kompleks o’zgaruvchili funksiyalar kursidan maʼlum bo’lgan ayrim tushunchalarni eslatib o’tamiz. Yopiq silliq egri chiziq bilan chegaralangan sohani orqali, ning barcha kompleks tekislikkacha to’ldiruvchisini orqali belgilaymiz. Agar — da analitik, da uzluksiz bo’lsa, ushbu Koshi

formulasi o’rinli bo’ladi. Endi funksiya bo’laklari silliq yopiq yoki ochiq egri chiziqda uzluksiz bo’lsin. U holda
(2.6)
integral Koshi tipidagi integral deyiladi, uning zichligi, esa yadrosi deb yuritiladi.
ni yopiq silliq egri chiziq hisoblab, orqali nuqta ning ichidan turib dagi nuqtaga intilgandagi ning limit qiymatini, orqali ning tashqarisidan intilgandagi limit qiymatini belgilaymiz.
Agar funksiya da Gyolder shartini qanoatlantirsa, u holda
, (2.7)
. (2.8)
formulalar o’rinli bo’ladi, bunda integrallar singulyar integrallardir.
(2.7) va (2.8) Soxotskiy — Plemeli formulalari deb ataladi.
Bu formulalar to’g’risida ayrim fikrlarni aytib o’tamiz. egri chiziq bo’ylab soat miliga qarshi harakat qilinganda, bu bilan chegaralangan soha chap tomonda qoladi deb faraz qilamiz. nuqta ga intilishi to’g’risida gapirilganda, nuqta harakati davomida chizilgan egri chiziq konturga urinmaydi deb hisoblaymiz, aks holda bu formulalar to’g’ri bo’lmasligi mumkin.
Agar yopiq egri chiziq bo’lmay, oddiy yoydan iborat bo’lsa, “sohaning ichidan” va “sohaning tashqarisidan” tushunchalari ma’noga ega bo’lmaydi, shunga qaramasdan, (2.7) va (2.8) formulalar o’z kuchini saqlab qoladi. Bu holda biror yoy bilan soat miliga qarshi aylanib o’tiladigan yopiq konturgacha to’ldiriladi. — bu kontur bilan chegaralangan soha bo’lsin. U holda (2.7) va (2.8) formulalardagi + va - belgilarni mos ravishda sohaning ichidan yoki tashqarisidan yo’nalish deb tushuniladi.
Ushbu ifoda, bunda va — konturning nuqtalari, Koshi yadrosi, esa, bu yerda va — oraliqda o’zgaradigan haqiqiy o’zgaruvchilar, Gilbert yadrosi deb aytiladi.
2.2. Singulyar integrallar kompozitsiyasining formulasi
— yopiq silliq egri chiziq bo’lib,
,
(2.9)

bo’lsin, funksiyaning bevosita orqali qanday ifodalanishini topamiz. Shu maqsadda Koshi tipidagi
,

integrallarni tekshiramiz. (2.7) formulaga asosan
,
.
Bulardan va funksiyalarning aniqlanishiga ko’ra
, (2.10)
tengliklarni hosil qilamiz. (2.10) dan ning qiymatini ga olib borib qo’yamiz:
. (2.11)
(2.11) dagi birinchi integral Koshi integralidir, chunki uning zichligi egri chiziq ichida analitik funksiyaning limit qiymati. Demak, bu integral ga teng. (2.11) dagi ikkinchi integral esa ga teng. Shunday qilib,
va .
(2.10) tenglikdan
.
funksiyaning ifodasini

ko’rinishda yozib olsak, singulyar integrallarning kompozitsiyasi bo’lgan ushbu
(2.12)
Puankare - Bertran formulasini hosil qilamiz. (2.12) formulada ikki karrali singulyar integralda integrallash tartibini o’zgartirish mumkin emas; agarda integrallash tartibini o’zgartirsak,

integral hosil bo’ladi, bu integral esa nolga teng. Haqiqatan ham bo’lsa,
.
(2.6) formulada bo’lsin. Agar nuqta egri chiziqning ichida yotsa, bo’ladi. Bu holda, (2.7) formuladan
.
Xuddi shunday

Demak,
, .
Agar funksiya da Gyolder shartini qanoatlantirsa, (2.12) ga nisbatan umumiyroq,
(2.13)
Puankare - Bertran formulasi to’g’ri bo’ladi. Agar funksiya ga bog’liq bo’lmasa, (2.13) dan darhol (2.12) formula kelib chiqadi.