Differensial tenglamalarni taqribiy

y^’=f(x,y) (7.4.1)

[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x₀ da u=u₀ ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

[a,b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.

Bu erda x_i=x₀+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.

(7.4.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [x_k , x_k+1] kesmada integrallasak


_k
Bu erda y(x_k)=y_k belgilash kiritsak


u_k+1=u_k+ (7.4.2)
Bu erda integral ostidagi funktsiyani [x_k , x_k+1] kesmada o’zgarmas x=x_k nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:

u_k+1= y_k+y_k , y_k=hf(x_k,y_k) (7.4.3)
Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (7.4.1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..

Eyler usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:

x=x₀ da u=u₀, z=z₀ (7.4.4)
(7.4.4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi


u_i+1=y_i+y_i , z_i+1=z_i+z_i
Bu erda

u_i=hf₁(x_i,y_i,z_i), z_i=hf₂(x_i,y_i,z_i), (i==0,1,2, ...)
Misol. Eyler usuli bilan y^’=y+(1+x)y² , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.
Yechish. Masalani shartidan x₀=1, u₀=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

I	xi	yi	f(xi ,yi)	Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.

Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:

bu erda