Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

(7.2.1)

uchun boshlang’ich shartlar berilgan

(7.2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni  boshlang’ich nuqta M₀(x₀, u₀, u^’₀, ..., u₀^(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.

(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x₀-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:

(7.2.3)
Bu erda |x-x₀|  h, h – etarli kichik son.

Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.

Agar x₀=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.

Misol.

y^”=x²u (7.2.4)

tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(7.2.5)

(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak

y⁽³⁾=2xy+x²y ^’

y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’
y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’

y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾

y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾

y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾

Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:

y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0;

y⁽⁸⁾(0)=60.

Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:

y=a₀+a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+... (7.2.6)

Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ , ... a_n topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.

Misol. y^’’=x²u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.

Yechish. x₀=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:

u=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (7.2.7)

Bundan ikki marta hosila olsak

y^’=a₁ +2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+na_nx^n-1...

u^’’=2a₂ +6a₃x+12a₄x²+...+ n(n-1) a_n x^n-2...

Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a₀=1; a₁=0 ekanligini aniqlaymiz. a₀ va a₁ ni (7.2.7) ga qo’ysak

OddiyDifferensial tenglama deb, o’zgaruvchi noma’lum funksiya va uning hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:

yoki

izlanayotgan funksiya bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lgani sababli differensial tenglama deyiladi.
Umuman, noma’lum funksiya ko’p argumentli bo’lgan hollar ham tez-tez uchraydi. Bunday holda differensial tenglama deb ataladi.