Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI

Kimyo texnologiya fakulteti

76-21 guruh talabasi

Mirzaqulov Jamshidbek

Fan: Oliy Matematika

REJA:

• 1. Hisoblash matematikasida differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechish usullari
• 2. Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)
• 3. Darajali qatorlar yordamida integrallash

Differensial tenglamalarni aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.

Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.

Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)

• Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin. Bizga, y’=f(x,y) birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x0)=u0- boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funksiya {|x-x0|a; |y-y0|b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.

y’=f(x,y) dan dy=f(x,u)dx ifodani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak

Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini

hosil qildik

u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x)

Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi

bo’lishi mumkin.Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

Teorema. Agar (x0;u0) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va chegaralangan xususiy hosilasi fy (x,y) mavjud bo’lsa, u holda Pikar {yi (x)} ketma-ketligi

tenglamaning yechimi bo’lgan va u(x0)= u0 shartni qanoatlantiruvchi u(x)funktsiyaga yaqinlashadi.

Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

uchun boshlang’ich shartlar berilgan

Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M0(x0, u0, u’0, ..., u0(n-1)) da analitik funksiya bo’lsin.(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x0-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:

Bu erda |x-x0| < h, h – etarli kichik son.

Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.

Agar x0=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.

Misol. y”=x2ytenglamani boshlang’ich shart y(0)=1, y’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Bu misol uchun qator quyidagi ko’rinishda yoziladi: (7.2.5)

y”=x2y dan ketma-ket hosila olsak:

y(3)=2xy+x2y’

• y(4)=2y+2xy’+2xy’+ x2y’’=2y+4xy’+ x2y’’
• y(5)=2y’+4y’+4xy’’+2xy’’+ x2y’’’=6y’+6xy’’+ x2y’’’
• y(6)=12y’’+8xy’’’+ x2y(4)
• y(7)=20y’’’+10xy(4)+ x2y(5)
• y(8)=30y(4)+12xy(5)+ x2y(6)
• Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:
• y’’(0)=0; y’’’(0)=0; y(4)(0)=2; y(5)(0)=y(6)(0)=y(7)(0)=0;
• y(8)(0)=60.
• Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Adabiyotlar:

• Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary Differential Equations. Birkhhauzer. Germany, 2010.
• Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge University Press 2013.
• Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, М., КомКнига. УРСС. 2006.
• Энгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчиление. М., КомКнига. УРСС. 2006.
• Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: Из-во РХД. 2000.