Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

(7.2.1)
uchun boshlang’ich shartlar berilgan
(7.2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M₀(x₀, u₀, u^’₀, ..., u₀^(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.

(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x₀-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:
(7.2.3)
Bu erda |x-x₀| h, h – etarli kichik son.
Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.
Agar x₀=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.
Misol.
y^”=x²u (7.2.4)
tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(7.2.5)
dan ketma-ket hosila olsak
y⁽³⁾=2xy+x²y ^’
y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’
y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’
y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾
y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾
y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾
Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:
y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0;
y⁽⁸⁾(0)=60.
Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:
y=a₀+a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+... (7.2.6)
Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ , ... a_n topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.
Misol. y^’’=x²u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.
Yechish. x₀=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
u=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (7.2.7)
Bundan ikki marta hosila olsak
y^’=a₁ +2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+na_nx^n-1...
u^’’=2a₂ +6a₃x+12a₄x²+...+ n(n-1) a_n x^n-2...
Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a₀=1; a₁=0 ekanligini aniqlaymiz. a₀ va a₁ ni (7.2.7) ga qo’ysak
u=1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+a_nxⁿ
Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y^’’-x²y =0 foydalanamiz:
2a₂ +6a₃x+12a₄x²+20a₅x³+30a₆x⁴+...+ n(n-1) a_n x^n-2–
–x²(1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+ a_nxⁿ+...)=0.
Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz
2a₂+6a₃x+(12a₄–1)x²+20a₅x³+(30a₆ –a₂)x⁴+(42a₇–a₃)x⁵+
+(56a₈–a₄)x⁵...=0.
Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a₂=0, a₃=0, 12a₄–1=0 .
Bundan a₄= ; a₅=0; 30a₆-a₂=0; a₆=0 ;a₇=0 va 56a₈-a₄=0 x.k.
Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin


u=1+ x⁴+ x⁸...
Teylor usuli
Ushbu bo’limning yuqori paragraflarida ko’rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo’lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko’rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimni aniqlik darajasi haqida yuritish birmuncha murakkab bo’ladi.
Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.
Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Teylor va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.
Birinchi tartibli differensial tenglamani
y^’=f(x,y) (7.4.1)
[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x₀ da u=u₀ ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
[a,b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.
Bu erda x_i=x₀+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.
(7.4.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [x_k , x_k+1] kesmada integrallasak
_k
Bu erda y(x_k)=y_k belgilash kiritsak
u_k+1=u_k+ (7.4.2)
Bu erda integral ostidagi funktsiyani [x_k , x_k+1] kesmada o’zgarmas x=x_k nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Teylor formulasini hosil qilamiz:


u_k+1= y_k+ y_k , y_k=hf(x_k,y_k) (7.4.3)
Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (7.4.1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..
Teylor usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:
x=x₀ da u=u₀, z=z₀ (7.4.4)
(7.4.4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi
u_i+1=y_i+ y_i , z_i+1=z_i+ z_i
Bu erda
u_i=hf₁(x_i,y_i,z_i), z_i=hf₂(x_i,y_i,z_i), (i==0,1,2, ...)

Misol. Teylor usuli bilan y^’=y+(1+x)y² , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.

Yechish. Masalani shartidan x₀=1, u₀=-1 topamiz va (7.4.3) Teylor formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

I	xi	yi	f(xi ,yi)	Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.
Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Teylor-Koshi usulidir. Teylor-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:

bu erda
.


Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Kompyuter fanlari / Kurnosov A.P., Kulev S.A., Ulezko A.V. va boshq.; Ed. A.P. Kurnosova-M .: Koloss, 2005.-272 bilan
2. Malyshev R.A. Mahalliy tarmoqlar: O'quv qo'llanmasi / RGATA. - Rybinsk, 2005. - 83 p.
3. Semakin IA, Informatika: Asosiy kurs / Semakin IA, Zalogova L., Rusakov S., Shestakova L. - Moskva: BINOM, 2005. - 105s.