Differensial tenglamalarni taqribiy yechimlarini aniqlash. Runge –kutta va adams usullari

DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHIMLARINI ANIQLASH. RUNGE –KUTTA VA ADAMS USULLARI.

Reja:

1. 
   Runge – Kutta usuli
   

1. Runge – Kutta usuli

Birinchi tartibli (9.1) tenglamani (9.2) shartni qanoatlantiruvchi yechimning taqribiy qiymatini Runge – Kutta usuli bilan quyidagicha topamiz. Berilgan [x₀,b] kesmani n ta teng bo‘lakka bo‘lib bo‘linish nuqtalari orasidagi qadam h=(b-x₀)/n bo‘lganda,

x_i=x_{i -1}+ h (x=x₀ ; y=y₀)
= h f (x_i,y_i)

(9.11)


y_i+1= y_i+
i=0, 1, 2, 3……n.
Bu Runge – Kutta usuli Koshi masalasi yechimning qiymatini to‘rtinchi tartibli aniqlikda hisoblaydi.
9.2-masalada differentsial tenglama uchun Koshi masalasi yechimning qiymatlarini Runge-Kutta usulida hisoblaymiz. Buning uchun tenglama yechimini topish uchun quyidagi hisoblash ketma-ketligini bajaramiz.
i =0 bo‘lganda x₀=1.3 u₀=2.6 lar uchun yechimning birinchi qiymatini hisoblaymiz.
Q₁⁰=hf (x,y)=0.1(x₀+cos(y₀/ )=0.1(1.8+cos(2.6/ )=0.2196
Q₂⁰₌ hf (x₀+h/ 2, y₀+ Q₁⁰/2)=0.201245
Q₃⁰₌ hf (x₀+h/ 2, y₀+ Q₂⁰/2)=0.2205
Q₄⁰₌ hf (x₀+h, y₀+ Q₃⁰)=0.2927
y₁=y₀+( Q₁⁰+ 2Q₂⁰+ 2Q₃⁰+ Q₄⁰)/ 6=2.02596
Demak, berilgan tenglamaning birinchi qiymati
y₁ =2.02596
bo‘ladi. Yuqoridagi qoidani i=1, x₁=1.9, y₁ =2.02596 lar uchun qo‘llab
y₂=3.0408
ni topamiz. SHuningdek, i=2,3,…,10 lar uchun tenglama yechimini qolgan qiymatlarini topamiz.
y₃=3.2619 y₁₄=3.4831 y ₅=3.7045
y ₆=3.9260 y ₇=4.1478 y ₈=4.370
y ₉=4.5931 y ₁₀=4.9172