Differensial tenglamalar va ularning tadbiqlari

YAXSHILANGAN EYLER USULI
Xuddi shu misolni ko'rib chiqing: differensial tenglama, shartni qanoatlantiradigan muayyan yechim, interval va uning 10 qismga bo'linishi
(Har bir qismning uzunligi).
Yaxshilashning maqsadi poliliniyaning "qizil kvadratlarini" aniq yechimning mos keladigan "yashil nuqtalari" ga yaqinlashtirishdir.  .
Va modifikatsiya g'oyasi quyidagicha: chiziq segmentlari parallel bo'lishi kerak tangens funksiya grafigiga chizilgan chap qirralarda emas, va bo'linish oraliqlarining "o'rtasida". Bu, albatta, yaqinlashish sifatini oshiradi.
Yechim algoritmi bir xil yo'nalishda ishlaydi, ammo formula, siz taxmin qilganingizdek, yanada murakkablashadi:
, qayerda 
Biz ma'lum bir yechimdan yana raqsga tushamiz va darhol "tashqi" funktsiyaning 1-argumentini topamiz:

Endi biz o'zimizning "yirtqich hayvon" ni topamiz, bu aslida unchalik qo'rqinchli emas edi - esda tutingki, bu bir xil funktsiyadir.  boshqa nuqtada hisoblangan:

Natijani bo'linish bosqichiga ko'paytiramiz:

Shunday qilib:
Algoritm ikkinchi bosqichga o'tadi, men dangasa bo'lmayman, uni batafsil yozaman:
juftlikni ko'rib chiqing va "tashqi" funktsiyaning 1-argumentini toping:

Biz uning 2-argumentini hisoblaymiz va topamiz:
Keling, qiymatni hisoblaylik:

va uning mahsuloti bir vaqtning o'zida:

Hisob-kitoblarni Excelda amalga oshirish maqsadga muvofiqdir (formulalarni xuddi shu tarzda takrorlash orqali - yuqoridagi videoga qarang), va natijalarni jadvalga kiriting:


Raqamlarni 4-5-6 kasrgacha yaxlitlash tavsiya etiladi. Ko'pincha muayyan vazifa sharoitida mavjud to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatma, yaxlitlash qanday aniqlik bilan amalga oshirilishi kerak. Men qattiq quyruqli qiymatlarni 6 ta raqamga qisqartirdim.
2 va 3-ustunlar natijalariga ko'ra (chapda) qurmoq singan chiziq, va taqqoslash uchun men yana aniq yechimning grafigini beraman  :


Natija sezilarli darajada yaxshilandi! - qizil kvadratlar aniq yechimning yashil nuqtalari orqasida amalda "yashirin".
Biroq, mukammallikka hech qanday cheklovlar yo'q. Bir bosh yaxshi, lekin ikkitasi yaxshiroq. Va yana nemislar: