Differensial tenglamalar

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.
Erkli o’zgaruvchi, noma’lum funksiya hamda uning hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabatga differensial tenglama deyiladi. Noma’lum funksiya faqat bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi. Noma’lum funksiya ikki yoki undan ko’p o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglamalarga, xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
2-ta’rif. Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi. y 3x , y cos x 2 ′′ = ′′′ = tenglamalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli tenglamalarga misol bo’ladi. Umumiy holda n-tartibli differensial tenglama ( , , , ,..., ) 0 )( ′ ′′ = n F x y y y y kњrinishda belgilanadi.
3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differensiallanuvchi y = ϕ(x)funksiyaga aytiladi. Differensial tenglama yechimining grafigiga integral chiziq deyiladi. Masalan, 2 2x, y x dx dy = = bu berilgan differensial tenglamaning yechimi bo’lib, bu holda integral chiziq paraboladan iborat bo’ladi. Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va bu yechimlarning hossalarini o’rganishdan iborat. Algebraik tenglamalardagidek hamma differensial tenglamalarni yechish mumkin bo’ladigan umumiy usullar yo’q. Differensial tenglamalarning har bir turiga xos yechish usulidan foydalaniladi.

y''(t)+a₁y'(t)+a₂y(t)= (t) differensial tenglamani operatsion hisob yordamida yechaylik, bunda a₁, a₂  R y(0)=y_0, y'(0)=y'₀ y(t)- tenglama echimini topish kerak.
Faraz silaylik L{y(t)}=Y(p), L{ (t)}=F(p) bo’lsin, endi hosilalarni ham tasvirlarini yozib, so’ngra ularni berilgan tenglamaga qo’yib




yechimni tasvir ko’rinishida topamiz, keyin tasvirlar jadvalidan foydalanib berilgan tenglama yechimi topiladi.
O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differentsial tenglamalar sistemasini operatsion hisob yordamida yechish sxemasi ham, xuddi o’zgarmas koeffitsentli chiziqli differentsial tenglamalarni yechishga o’xshashdir.
Quyidagi sistemani operatsion usulda yechamiz

noma’lumlar

Bularni (134) ga qo’yib quyidagilarni hosil qilamiz

Bu sistemani yechib X(p) va Y(p) yechimlarni topamiz, keyin tasvirlar jadvalidan foydalanib x(t) va y(t) yechimlarni aniqlaymiz.

Differensial tenglamalar deb, noma’lumi bir yoki bir necha o‘zgaruvchili funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga aytiladi. Agar tenglamada noma’lum funksiya ko‘p o‘zgaruvchining (o‘zgaruvchi 2 tadan kam bo‘lmasligi kerak) funksiyasi bo‘lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

erkli o‘zgaruvchining noma’lum funksyasi va funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari orasidagi bog‘lanishga, ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud qandaydir funksiya berilgan bo‘lsin ( ). U holda
(1)
tenglama umumiy holda berilgan xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Bu yerda - qandaydir funksiya.
Xuddi shunga o‘xshash ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
. (2)
Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi, agarda u yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko‘rinishga ega bo‘lsa:
. (3)
Quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:
.
Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma’lum funksiyaning o‘ziga nisbatan ham chiziqli bo‘lsa, ya’ni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsa,
.
Ushbu tenglamada - tenglamaning koeffitsientlari, - tenglamaning ozod hadi deyiladi va ular oldindan berilgan deb hisoblanadi.
Agar tenglamada bo‘lsa, u holda bu tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Aks holda, agar bo‘lsa, (5) tenglama bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama deyiladi.
Biz va erkli o‘zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya’ni
,
berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo‘lgan va soddaroq ko‘rinishga ega bo‘lgan tenglamaga ega bo‘lishimiz mumkin.
Buning uchun (3) tenglamada va erkli o‘zgaruvchilardan yangi va o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:

(7) ifodalarni (3) tenglamaga keltirib qo‘yib, va o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi tenglamani olamiz:
,
bu yerda
,
,
,
tenglama tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
tenglamaning integrallari esa tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:
,
.
yoki yordamida berilgan tenglamaning xarakteristikalari topiladi. Agar qandaydir sohada bo‘lsa, tenglama giperbolik turga qarashli, agar sohada bo‘lsa, berilgan tenglama elliptik turga qarashli, agar sohada bo‘lsa, parabolik turga qarashli deyiladi.
Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab tenglamani quyidagi kanonik ko‘rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.