Differensial tenglamalar kafedrasi oddiy differensial tenglamalar fanidan

I	xi	yi	f(xi ,yi)
Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.

Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:

bu erda 

.


Runge – Kutta usuli
Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani x_i+1 dagi qiymatini topish uchun uning x_i dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.Birinchi tartibli differensial tenglama y^’=f(x,y) uchun x=x_i da y=y_i (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “u_i” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin. 
Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], x_i=x₀+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.
Noma’lum funktsiya “u” ni x=x_i+1 dagi qiymati y_i+1= y(x_i+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi:

K ₁⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i,y_i)

K₂⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h/2, y_i+K₁⁽ⁱ⁾/2)

K₃⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h/2, y_i+K₂⁽ⁱ⁾/2) (7.5.1)

K₄⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h, y_i+K₃⁽ⁱ⁾)

Funktsiyaning orttirmasi  y_i ni quyidagi formuladan topiladi

y_i=(K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) / 6 (7.5.2)

Bu erda h=(b-a)/n – integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (7.5.1) va (7.5.2) dagi amallarni bajaramiz va noma’lum funktsiya “u” ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.

y_i+1=y_i+  y_i , (i=0,1,2, ...n) (7.5.3) 

Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:

1. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.

   
   

2. “x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u^’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.

   
   

3. Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.

   
   
4. 
   
   K₁⁽⁰⁾ ni 1 ga, K₂⁽⁰⁾ va K₃⁽⁰⁾ larni 2 ga, K₄⁽⁰⁾ ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
   

I-IV jarayonni Kⁱ ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va  u=(1/6) (K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) ni topamiz. Va nihoyat y_i+1=y_i+  y_i topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz. 

1-Jadval

X U u’=f(x,y) K=hf(x,y) u 2 3 4 5 6 x0 y0 f(x0 ,y0) K1^(0) K1^(0) x0+h/2 y0+K1^(0)/2 f(x0+h/2; y0+K1^(0)/2) K2^(0) 2K2^(0) x0+h/2 y0+K2^(0)/2 f(x0+h/2; y0+K2^(0)/2) K3^(0) 2K3^(0) x0+h y0+K3^(0) f(x0+h; y0+K3^(0)) K4^(0) K4^(0) x1 y1=y0+ y0 f(x1 ,y1) K1^(0) K1^(0) x1+h/2 y1+K1^(1)/2 f(x1+h/2; y1+K1^(1)/2) K2^(0) 2K2^(0) x1+h/2 y1+K2^(1)/2 f(x1+h/2; y1+K2^(1)/2) K3^(0) 2K3^(0) x1+h y1+K3^(1) f(x1+h; y1+K3^(1)) K4^(0) K4^(0) x2 y2=y1+ y1

Misol. Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qo’yilgan boshlang’ich masalaning 

y^’=  , u(1)=0 yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin. 

Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.

2-Jadval

i xi yi f(xi, yi) K=hf(xi, yi) y1 0 1 1,05 1,05 1,1 0 0,05 0,057262 0,115907 1 1,145238 1,159071 1,310740 0,1 0,114524 0,115907 0,131074 0,1 0,229048 0,231814 0,131074 0,115323 1 1,1 1,15 1,15 1,20 0,115323 0,180807 0,188546 0,263114 1,309678 1,464447 1,477905 1,638523 0,130968 0,146445 0,147791 0,163852 0,130968 0,292889 0,295581 0,163852 0,147215 2 1,2 1,25 1,25 1,3 0,262538 0,344416 0,352591 0,443953 1,637563 1,801066 1,814146 1,983005 0,163756 0,180107 0,181415 0,198301 0,163756 0,360213 0,362829 0,198301 0,180805 3 1,3 1,35 1,35 1,4 0,443388 0,524495 0,551073 0,660028 1,982135 2,153696 2,166404 2,342897 0,198214 0,215370 0,216640 0,234290 0,198214 0,430739 0,443281 0,234290 0,216087 4 1,4 1,45 1,45 1,50 0,659475 0,776580 0,785532 0,912824 2,342107 2,521146 2,533493 2,717099 0,234211 0,252115 0,253349 0,271710 0,234211 0,504229 0,506700 0,271711 0,252808 5 1,5 0,912283