Differensial tenglamalar kafedrasi oddiy differensial tenglamalar fanidan

I	xi	yi	f(xi ,yi)
Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.

Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:

bu erda 

.


Runge – Kutta usuli
Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani x_i+1 dagi qiymatini topish uchun uning x_i dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.Runge – Kuttausuliniuninganiqlashdarajasibo’yichabirnyechausullargaajratadilar. Shulardanamaliyotdaengko’pqo’llanadiganito’rtinchidarajalianiqlikdagiRunge – Kuttausulidir.Birinchitartiblidifferensialtenglama y^’=f(x,y) uchun x=x_i da y=y_i (i=0,1,2, ...n) qiymatlarma’lumbo’lsin. Bu erda “u_i” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin. 
Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], x_i=x₀+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.
Noma’lum funktsiya “u” ni x=x_i+1 dagi qiymati y_i+1= y(x_i+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi:

K ₁⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i,y_i)

K₂⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h/2, y_i+K₁⁽ⁱ⁾/2)

K₃⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h/2, y_i+K₂⁽ⁱ⁾/2) (7.5.1)

K₄⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h, y_i+K₃⁽ⁱ⁾)

Funktsiyaning orttirmasi  y_i ni quyidagi formuladan topiladi

y_i=(K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) / 6 (7.5.2)

Bu erda h=(b-a)/n – integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (7.5.1) va (7.5.2) dagi amallarni bajaramiz va noma’lum funktsiya “u” ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.

y_i+1=y_i+ y_i , (i=0,1,2, ...n) (7.5.3) 

Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:

1. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.

   
   

2. “x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u^’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.

   
   

3. Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.

   
   
4. 
   
   K₁⁽⁰⁾ ni 1 ga, K₂⁽⁰⁾ va K₃⁽⁰⁾ larni 2 ga, K₄⁽⁰⁾ ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
   

I-IV jarayonni Kⁱ ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va  u=(1/6) (K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) ni topamiz. Va nihoyat y_i+1=y_i+ y_i topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz. 

1-Jadval

X U u’=f(x,y) K=hf(x,y) u 2 3 4 5 6 x0 y0 f(x0 ,y0) K1^(0) K1^(0) x0+h/2 y0+K1^(0)/2 f(x0+h/2; y0+K1^(0)/2) K2^(0) 2K2^(0) x0+h/2 y0+K2^(0)/2 f(x0+h/2; y0+K2^(0)/2) K3^(0) 2K3^(0) x0+h y0+K3^(0) f(x0+h; y0+K3^(0)) K4^(0) K4^(0) x1 y1=y0+ y0 f(x1 ,y1) K1^(0) K1^(0) x1+h/2 y1+K1^(1)/2 f(x1+h/2; y1+K1^(1)/2) K2^(0) 2K2^(0) x1+h/2 y1+K2^(1)/2 f(x1+h/2; y1+K2^(1)/2) K3^(0) 2K3^(0) x1+h y1+K3^(1) f(x1+h; y1+K3^(1)) K4^(0) K4^(0) x2 y2=y1+ y1

Misol. Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qo’yilgan boshlang’ich masalaning 

y^’= , u(1)=0 yechimi [0.1] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin. 

Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.

N=28 y’=0.1x^2+2y^2 y(0)=0.2 (0:1) h=0.1

2-Jadval

i xi yi f(xi, yi) K=hf(xi, yi) y1 0 0 0,05 0,05 0,1 0 0,204 0,2086 0.2873 0.08 0.0834 0.0873 0.1661 0,008 0.0086 0,0087 0,0166 0,008 0,0172 0,0175 0,0166 0,0099 1 0.1 0.15 0.15 0.2 0,2099 0,2143 0,2192 0,2196 0.0891 0.0929 0.0972 0.1004 0,0089 0,0093 0,0097 0,01 0,0089 0,0186 0,0194 0,01 0,00095 2 0.2 0.25 0.25 0.3 0,2095 0,2141 0,2144 0,2193 0.0918 0.0979 0.0981 0.1052 0.0092 0,0098 0,0098 0,0105 0,0092 0,0196 0,0196 0,0105 0,0098 3 0.3 0.35 0.35 0.4 0.2098 0.2146 0,215 0,2203 0.097 0.1047 0.1047 0.1131 0.0097 0,0104 0,0105 0,0113 0,0097 0,0208 0,0209 0,0113 0,0105