Differensial tenglamalar kafedrasi oddiy differensial tenglamalar fanidan

Darajali qatorlar yordamida integrallash
Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

(7.2.1)

uchun boshlang’ich shartlar berilgan

(7.2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni  boshlang’ich nuqta M₀(x₀, u₀, u^’₀, ..., u₀^(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin. 

(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x₀-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:

(7.2.3)

Bu erda |x-x₀|  h, h – etarli kichik son.

Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.
Agar x₀=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.
Misol. 
y^”=x²u (7.2.4)
tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. 
Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(7.2.5)
(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak

y⁽³⁾=2xy+x²y ^’

y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’

y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’

y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾

y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾

y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾
Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:
y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0; 

y⁽⁸⁾(0)=60.
Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:

y=a₀+a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+... (7.2.6)
Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ , ... a_n topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.
Misol. y^’’=x²u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin. 
Yechish. x₀=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
u=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (7.2.7)
Bundan ikki marta hosila olsak

y^’=a₁ +2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+na_nx^n-1... 

u^’’=2a₂ +6a₃x+12a₄x²+...+ n(n-1) a_n x^n-2... 
Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a₀=1; a₁=0 ekanligini aniqlaymiz. a₀ va a₁ ni (7.2.7) ga qo’ysak

u=1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+a_nxⁿ 
Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y^’’-x²y =0 foydalanamiz:

2a₂ +6a₃x+12a₄x²+20a₅x³+30a₆x⁴+...+ n(n-1) a_n x^n-2–

–x²(1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+ a_nxⁿ+...)=0.

Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz 

2a₂+6a₃x+(12a₄–1)x²+20a₅x³+(30a₆ –a₂)x⁴+(42a₇–a₃)x⁵+

+(56a₈–a₄)x⁵...=0.
Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a₂=0, a₃=0, 12a₄–1=0 .Bundan a₄= ; a₅=0; 30a₆-a₂=0; a₆=0 ;a₇=0 va 56a₈-a₄=0 x.k.
Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin


u=1+ x⁴+ x⁸...


Galerkin usuli

Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.

Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin:  (7.3.1)

(7.3.2)

(7.3.3)
bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar;  -o’zgarmaslar.
Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:

>0,  >0.
Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini  tanlab olamiz:

1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega  S² .

2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar  da

chiziqli bog’liq emas.

3) 

4) (7.3.1),(7.3.2) shartlarni bajaruvchi  funktsiyalar 

S²  to’plamda to’la gruppani tashkil etadi.

Bu shartlarni bajaruvchi funktsiyalarga koordinat funktsiyalar deb ataladi.

Berilgan masalani yechimi quyidagi ko’rinishda 

(7.3.4)
qidiramiz.
Noma’lum a₁, a₂,..., a_n koeffitsiyentlar quyidagi shartlardan topiladi:


bu erda

R (x, a₁ ,a₂ ,... a_n) = y^’’_n(x) + p(x)y^’_n(x) - q(x)y_n(x) - f(x).

Oxirgi integral tenglikdan quyidagi algebraik tenglamalar tizimini hosil qilamiz:

 (7.3.5)
bu erda 




Hosil qilingan (7.3.5) tenglamalar tizimidan noma’lum koeffitsiyentlar topilib, (7.3.4) ga qo’yiladi, natijada berilgan masalani taqribiy yechimi topiladi. 
Galerkin usulini taqribiy yechimining aniqligi koordinat funktsiyalar soniga (n) va ularni qanday tanlab olinishiga bog’liq.
Misol. Galerkin usuli yordamida quyidagi chegaraviy masalani 

y^’’(x)+2xy^’(x)-2y(x)=2x², 0 x 1,

y^’(0)=-2, y(1)+y’(1)=0

taqribiy yechimini toping.

Yechish. Koordinat funktsiyalarni  ... , darajali funktsiyalar 1, x, x², ... kombinasiyasi sifatida olamiz. 

funktsiya chegaraviy shartlarni   qanotlantirishini xisobga olsak   ekanligini topamiz.

funktsiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni  qanotlantirishi kerak. U xolda, bu funktsiyalarni  ko’rinishda olsak, noma’lum parametrlarni topib, koordinat funktsiyalarni 

hosil qilamiz.

k,i=1,2 uchun c_ki va d_i larni topamiz:












U holda Galerkin tenglamalar tizimidan 


noma’lum koeffitsiyentlarni topamiz:

a₁=1,14852, a₂=-0,13498.

Natijada, berilgan chegaraviy masalani taqribiy yechimini hosil qilamiz: 

y(x) 1,094-2x+1,149x²-0,135x³.


Eyler usuli
Ushbu bo’limning yuqori paragraflarida ko’rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo’lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko’rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimni aniqlik darajasi haqida yuritish birmuncha murakkab bo’ladi.
Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.
Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.
Birinchi tartibli differensial tenglamani 

y^’=f(x,y) (7.4.1) 

[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x₀ da u=u₀ ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. 

[a,b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.

Bu erda x_i=x₀+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.

(7.4.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [x_k , x_k+1] kesmada integrallasak

_k 

Bu erda y(x_k)=y_k belgilash kiritsak

u_k+1=u_k+  (7.4.2)

Bu erda integral ostidagi funktsiyani [x_k , x_k+1] kesmada o’zgarmas x=x_k nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:

u_k+1= y_k+ y_k ,  y_k=hf(x_k,y_k) (7.4.3)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (7.4.1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..

Eyler usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:

 x=x₀ da u=u₀, z=z₀ (7.4.4)

(7.4.4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi

u_i+1=y_i+ y_i , z_i+1=z_i+ z_i

Bu erda 

u_i=hf₁(x_i,y_i,z_i),  z_i=hf₂(x_i,y_i,z_i), (i==0,1,2, ...)
Misol. Eyler usuli bilan y^’=y+(1+x)y² , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin. 
Yechish. Masalani shartidan x₀=1, u₀=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.