Differensial tenglamalar haqida tushuncha. Birinchi tartibli differinsial tenglama. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama

y =c₁e^{k x} + c₂e^{k x} .

ko’rinishda bo’ladi.

Misol.
y^’’+y^’-2y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:
k²+ k-2=0
Uni yechib, k₁=1 va k₂=-2 topib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:
y =c₁e^x + c₂e^-2x .

2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ haqiqiy va teng sonlar bo’lsin: k₁=k₂.

Bu xolda k₁=k₂= .
Bitta hususiy yechim ma’lum
y₁ = e^{k x} = e

Ikkinchi xususiy yechimni y₂ =u(x)e^{k x} shaklda izlaymiz:

y₂ ^’ =(u^’ (x) + k₁ u(x))e^{k x} ,
y₂ ^’’ =(u^’’ (x) +2k₁ u^’(x) + k²₁ u(x))e^{k x} .

Bularni (4.3) ga qo’yib va soddalashtirib

(u^’’ (x) +(2k₁+a₁) u’(x) + (k²₁+k₁a₁+a₂) u(x))e^{k x} =0

xosil qilamiz.

k₁= bo’lganda 2k₁+a₁ =0 va k₁- xarakteristik tenglama karrali ildizi bo’lganidan

u^’’ (x) e^{k x} = 0 yoki u^’’ (x) = 0.

Uni integrallab u(x)=Ax+ B ni xosil qilamiz.
Xususiy xolda, A=1 va B=0 deb olish mumkin: u(x)=x.
Demak, ikkinchi xususiy yechim y₂ =xe^{k x} ko’rinishda buladi.
Demak, bu xolda umumiy yechim
y =( c₁+ c₂x)e^{k x}

ko’rinishida bo’ladi.

3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ kompleks sonlar bo’lsin:
, ,
.
Xususiy yechimlarni
y₁ =e ^x va y₂ =e ^x
shaklida yozish mumkin.
Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Demak, xususiy yechim
e ^x= e ^xcos( x)+ie ^xsin( x)
bo’lgani uchun e ^xcos( x) , e ^xsin( x) lar (4.3) tenglamaning yechimlari buladi.
Umumiy yechim esa
y= e ^x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x))
ko’rinishda bo’ladi.
Misol.
y^’’ -4y^’+7y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:
k²- 4k+7=0.
Uni yechib, k₁=2+i va k₂=2-i topib , umumiy yechimni xosil kilamiz:

y= e^2x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x)).