Differensial tenglama

 
№ 
Mustaqil ish №2
Ajratilg
an ball 
1. 
Mustaqil ish mavzusi. 
Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish 
4 
 

---

Misol. 
2
4
0
x y
y
  
differensial tenglamani, x=1 bulganda 
1, y
0
y



boshlangich shartni qanoatlantiruvchi yechimini qator shaklida topilsin
. 

Yechish. 1) Berilgan Koshi masalasini yechimini analitik usulda topamiz. 
Ushbu
t
х
e

almashtirlshni bajaramiz. Qaysiki
y
t
d y
d y
e
d x
d t

 

,
2
2
2
t
t
d
d y
d y
d y
y
e
e
d x
d t
d t
d t






 










bo’lganligi uchun, berilgan differensial tenglama
2
2
2
2
2
2
4
0
4
4
0
t
t
d y
d y
d y
d y
e
e
y
y
d t
d t
d t
d t






 







o’zgarmas koeffisientli differensial tenglamaga ko’rinishga keladi. Bu tenglamani 
xarakteristik tenglamasi
2
4
4
1
0
k
k

 
ko’rinishda bo’ladi. Xarakteristik 
tenglama bitta ikki karrali
1
2
k

ildizga ega buladi. 
Unda
 
y t
funksiya uchun yechim 
  

2
1
2
t
y t
C
C t e


ko’rinishga bo’ladi. 
Izlanayotgan 
 
y x
funksiya uchun umumiy yechim
 
1
2
ln
y x
C
x
C
x
x


bo’ladi. Boshlangich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni boshlangich 
shartdan foydalanib topamiz: 
𝐶
1
= 1; 𝐶
2
= −0.5
Demak, masalani yechimi
 
1
ln
2
y x
x
x
x


bo’ladi. 
2) 
Qatorlar yordamida berilgan differensial tenglamaning yechimini topamiz.
Yechimni
 
𝒚 = 𝒇(𝟏) +
𝒇
′
(𝟏)
𝟏!
(𝒙 − 𝟏) +
𝒇
′′
(𝟏)
𝟐!
(𝒙 − 𝟏)
𝟐
+ ⋯ ..
 
qator kurinishida izlaymiz.
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1,
1
0, 4 1
1
1
0
1
.
4
x
x
x
f
y
f
y
y
y
f
y














 

 
. 
Berilgan tenglamani bir necha marta differensiallab va hosilalarning x=1 
nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz. Shunday qilib:
 
 
 
2
1
1
8
4
0,
8 1
4 1
1
0
0
1
1
4
2
xy
x y
y
y
f
y











  
 
  






, 
 
 
 
2
1
1
9
1 6
4
0, 9
1 6 1
4 1
1
0,
4
2
IV
IV
y
xy
x y
y







 


  





 
 
 
 
2 3
1
1
1 6
IV
IV
f
y

 
va hokoza. 
Hosilalarning bu topilgan qiymatlarini qator koeffisentlarining formulalariga 
qo’yamiz va quyidagi Teylor qatoriga ega boʻlamiz:






2
3
4
1
1
2 3
1
1
1
1
...
8
1 2
3 8 4
y
х
x
x
  









---

 Teylor qatoridagi qoʻshiluvchilar soni ortgan sari analitik yechim grafigi bilan 
taqribiy yechim grafiklari boshlangʻich shart nuqtasi atrofida yaqinlashadi. 
VARIANTLAR
Misol. Berilgan Koshi masalasini noldan farqli 4 ta hadigacha Teylor 
qatoriga yoyib taqriban yeching. 
 
 
1.
 
2 ,
y 0
2
y
y
 

2.
 
(2
1) '
4
2 ,
0
1
x
y
x
y
y





3.
 
1
,
y 0
1
y
x
y
   

4.
'
sec
y
ytgx
x


,
 
 
y 0
2

 
5.
 
3
2
, y 0
2
y
xy
x y
 


6.
(
)
0
x
xy
e
dx
xdy



,
 
y 1
1

 
7. 
 
4 ,
y 0
2
y
y
 

8.
2
'
1
0
x y
xy

 
,
 
y 1
2

 
9.
 
 
4
3
0, y 1
2
y
x
 


10.
( '
cos )
y
x y
x
x


,
y
2
2








 
11.
 
 
3
4
,
y 1
1
хy
y
x
 


12. 
2
2 (
)
x x
y dx
dy


,
 
y 0
1

 
13.
 
3 sin , y
2
y
y
x
x
x




 






14. 
(
' 1) ln
2
xy
x
y


,
 
y
1
e

 
15. 


2
1
2
0,
х
y
xy





16.
2
' (
1)
3
x
xy
x
y
x e




, 
 
y 1
1

 
17.
 
 
3 ,
0
1
yy
x
y
 

18. 
 
2
2
3
,
y 0
1
x
y
xy
xe

 


, 
 
19. 
 
3 sin , y 0
0
y
ytgx
x
 


20.
 
5
, y 0
1
y
xy
 

 
21.
 
 
0, y 0
1
y
xy
 


22.
 
3
2
5
, y 1
3
y
y
x
x
 


 
23. 
 
2
2
2
, y 0
2
x
y
xy
xe

 


24.
 
(2
1) '
5
2 ,
0
2
x
y
x
y
y




 
25.

2
(
1)( '

)
x
y
y
y


 
26.
 
2
2
3
0,
1
1
x y
y
y
 



 
27. 
 
sin ,
0
0
y
ytgx
x
y
 


28.
 
2
2
, y 1
0
y
y
x
x
 


 
29.
 

  
e
1 , y 0
1
1
x
y
y
x
x
 




 30. 
 
2
'
,
4
1
x y
y
y


 
 

---

31.
 
sin
2
2
, y
2
y
x
y
x
x




 






32.
 
2
2 cos
, y 0
0
y ctgx
y
xctgx




 
33.
 
2
3
co sx , y
1
2
xy
y
x



 






34.
'
( 2
1) c
,
0, 5
4
y
y
tg x
y










 
35.
 
 
ln
1,
1
0
xy
y
x
y
  


36.


 
2
1
4
5, y 0
0
x
y
xy





 
 
37.
 
 
cos
sin 2 x, y 0
0
y
y
x
 


 38.
 
2
2
0,
1
1
x y
y
y
 



 
39. 


 
2
2
e
1
, y 0
1
1
x
y
y
x
x
 




 40. 
2
'
2
4
xy
x
y
y


, 
 
y 1
0


 
41.
 
cos
2 sin , y 0
1
y
y
x
x
 


42.
5
3
'
2
0
x
xy
y
x y e



, 
 
y 1
1

 
43.
 
 
2
2
,
y 0
1
x
y
xy
xe

 


44.
2
2 '
1
x
xy
y
y
x



,
 
y 1
1

 
45.
 
3
, y 0
1
y
xy
 

46.
( '
co s ),
0
2
y
x y
x
x
y










 
47.
 
2
2
2
1
, y 1
3
1
x
y
y
x
x
 
 


48. 
5 sin
2
, y
2
y
x
y
x
x




 






 
 
49.
 
 
2
3
3
'
1,
1
1
y y
y
x
y

 

50.
 
2
3
x
2 x , y
1
2
2
y
y
x
 






 
51.
 
 
1
1
ln
, y 1
y
xy
y
x
e


 






52.
2
'
2
4
x
y
xy
xe



, 
 
y 0
1
