Дифференциал ҳисобининг баъзи бир татбиқлари

Дифференциал ҳисобининг баъзи бир татбиқлари.

• Режа:
• Функциянинг ўзгармас қийматни сақлаши.
• Функциянинг чизиқли бўлишлиги.
• Функцияни бир томонли хосилаларни мавжуд бўлишлиги.
• Тенгсизликларни исботлаш.
• Функциянинг монотон бўлиши.

Функциянинг ўзгармас қийматни сақлаши.

• Теорема 1.
• функциянинг (a,b) интервалларда
• дифференциаланувчи бўлсин. Бу функция (a,b) интервалда ўзгармас бўлиши учун шу интервалда
• бўлиши зарур ва етарли.

Натижа

• Агар f(x) ва g(x) функциялар (a,b) интервалда дифференциаланувчи бўлиб, учун
• тенглик бажарилса, у ҳолда f(x) ва g(x) функциялар (a,b) интервалда бир-биридан фақат ўзгармас сонга фарқ қилади, яъни учун
• ,

Функциянинг чизиқли бўлишлиги.

• Теорема 2.
• Агар f(x) функция [a,b] сегментда узлуксиз, (a,b) интервалда дифференциаланувчи бўлиб, учун , бўлса, у ҳолда учун
• бўлади, яъни f(x) - чизиқли функция.

Функциянининг бир томонли ҳосилаларини мавжуд бўлишлиги.

• Теорема 3.
• f(x) функция (a,b) интервалда узлуксиз бўлиб, шу интервалнинг нуқтасидан ташқари қолган барча нуқталарида дифференциалланувчи бўлсин. Агар
• бўлиб, бунда А чекли ёки чексиз бўлса, у ҳолда f(x) функция нуқтада чап ҳосиласи мавжуд ва у .

Худди шунингдек, агар

• Худди шунингдек, агар
• бўлса, у ҳолда f(x) функциянинг нуқтада ўнг
• ҳосиласи мавжуд бўлиб,
• бўлади.

Мисол 1.

• Мисол 1.
• функция учун ва ҳосилалар топилсин.

Мисол 2.

• Мисол 2.
• Ушбу
• функция ҳосиласи нинг узилиш нуқтасини топинг.

Тенгсизликларни исботлаш.

• Теорема 4.
• Агар φ(x) ва ψ(x) функциялар дифференциалланувчи бўлиб,
• ва учун тенгсизлик бажарилса, у ҳолда да тенгсизлик ўринли бўлади.

Мисол 3.

• Мисол 3.
• Ушбу
• тенгсизликни исботланг.

Функциянинг монотон бўлиши.

• Теорема 5.
• f(x) функция (a,b) интервалда дифференциалланувчи бўлсин. Бу функция шу интервалда ўсувчи(камаювчи) бўлиши учун
• да тенгсизлик ўринли бўлиши зарур ва етарли.

Натижа.

• Агар f(x) функция (a,b) интервалда дифференциалланувчи бўлиб, шу интервалда
• ( ) тенгсизлик ўринли бўлca, у ҳолда f(x) функция (a,b) интервалда қатъий ўсувчи(қатъий камаювчи) бўлади.

Изоҳ.

• Натижада келтирилган шарт етарли бўлиб, зарурий шарт эмас. Масалан,
• функция R да қатъий ўсувчи бўлиб, x=0 нуқтада ҳосиласи
• бўлади.

Вазифа.

• Теорема 5 ни камаювчи бўлган ҳол учун исботланг.
• Натижани исботланг.
• Агар f(x) функция (a,b) интервалда дифференциалланувчи бўлса, у ҳолда шу интервалда текис узлуксиз бўлишини исботланг.

Эътиборингиз учун раҳмат!!!