Дифференциал геометрия ва топология

ЭГРИ ЧИЗИҚ ЁЙИНИНГУЗУНЛИГИ. ЭГРИ ЧИЗИҚНИ ТАБИИЙ ПАРАМЕТРЛАШ.
РЕЖА.

1. 
   Ёй узунлигининг таърифи.
   
2. 
   Ёй узунлигини ҳисоблаш учун формула.
   
3. 
   Ёй узунлиги учун формулалар.
   
4. 
   Эгри чизиқнинг табиий параметрлаш.
   

Фараз қилайлик  элементар эгри чизиқ

x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1)
параметрик тенгламалари билан берилган бўлсин.
Таъриф.  чизиқнинг аtb ёйининг узунлиги деб эгри чизиқка ички чизилган ва учлари (x(t₁), y(t₁)) (t₁=a, t₂...t_n=b, t₁2<...n) нуқталарда бўлган синиқ чизиқ узунлигининг, синик чизиқ бўғинлари чексиз кичрая боргандаги интилган лимитга айтилади.
ТЕОРЕМА. Силлиқ чизиқнинг ҳар қандай ёйи аниқ узунликка эга. Агар эгри чизиқ r=r(t) тенглама билан берилган бўлса, atb ёй узунлиги

формулабиланҳисобланади.
ИСБОТ. Синиқчизиқузунлигининиэгричизиқтенгламасиданфойдаланибқуйидаги

кўринишдаифодалашимизмумкин.
Буифоданиқуйидагикўринишдаёзамиз:
=
+ - (2)
Охиргитенгликнингўнгтомонидагииккинчиқўшилувчиинтегралнингтаърифигаасосанетарличакичикмиқдордир. Учинчикўшилувчиниэсақуйидагичаёзамиз:

[a,b] кесмада r'(t) вектор-функциятекисузлуксизбўлганиучун |r'(t)-r'(t_k)|<бўлади. Шунингучунучинчиқўшилувчини

кўринишдаифодалашимизмумкин.
Шундайқилиб, синикчизиқбўғинларичексизкичраяборганда, яъни айирма0 гаинтилганда (2) тенгликдалимитгаўтсак,

ни оламиз.
Бу тенглик теоремани исботлайди.
Энди ёй узунлигини ҳисоблаш формулаларини топамиз.
1. Агар  эгри чизиқ x=x(t), y=y(t), z=z(t) параметрик тенгламалар билан берилган бўлса, (1) га асосан atb ёй узунлиги
(3)
формула билан ҳисобланади.
2. Агар эгри чизиқ y=y(t), z=z(t) кўринишда берилган бўлса ёй узунлиги
(4)
формула билан ҳисобланади.
ЭСЛАТМА. ХОУ текисликда ётувчи текис эгри чизиқлар учун (3) ва (4) формулаларда z'=0 бўлади.