Дифференциал геометрия ва топология

Таъриф. Эгри чизиқ бўйлаб QР да /|s| нисбат интилган лимит эгри чизиқнинг Р нуқтасидаги абсолют буралиш дейилади ва || кўринишда белгиланади.
ТЕОРЕМА. Регуляр (уч марта узлуксиз дифференциалланувчи) эгри чизиқ ўзининг эгрилиги 0 дан фарқли бўлган ҳар бир нуқтасида аниқ абсолют буралишга эга. Агар r=r(s) эгри чизиқнинг табиий параметрланган тенгламаси бўлса абсолют буралиш
||=|r'r"r"'|/k²
формула билан ҳисобланади.
ИСБОТ. Агар эгри чизиқнинг Р нуқтасида эгрилиги 0 дан фарқли бўлса, унинг узлуксиз эканлигидан унга яқин нуқталарда хам эгриликнинг 0 дан фарқли экани келиб чикади. Эгрилик 0 дан фарқли бўлган нуқталарнинг хар бирида r'(s) ва r"(s) векторлар 0 дан фарқли ва ўзаро // эмас. Шунинг учун Р га яқин бўлган нуқталарнинг хар бирида ёпишма текислик мавжуддир.
(s) ва (s+s) векторлар Р ва Q нуқталардаги бинормалларнинг бирлик векторларидан иборат бўлиб, улар орасидаги бурчак  га тенг. Шунинг учун юкорида кўриб ўтганимиздек
|(s+s)-(s)|=2sin(/2)
бўлади.
Бундан

Охирги тенгликда |s|0 да лимитга ўтиб,
||=|'| (1)
ни топамиз. ' вектор  ва  векторларга  дир. Хақиқатан хам  бирлик вектор бўлгани учун ' бўлади. Шунингдек =[,] тенгликни дифференциаллаб, '=[',]+[,']=[,] ни топамиз. Бундан ' келиб чикади. Демак, ' вектор  вектор билан коллинеар экан. Шу сабабли (1) тенгликни ||=|'| кўринишда ёзиб оламиз. Бу тенгликка ' ва  ларнинг маълум ифодаларини қўйиб ушбу натижаларни оламиз, яъни
||=|[,']|=|(',,)|=|(r' 1/kr"' 1/kr")|=|(r'r"r"')|/k² (2)
Бу тенглик теоремани исботлайди.
Агар эгри чизиқ тенгламаси r=r(t) кўринишдаги ихтиёрий t параметр орқали берилган бўлса, эгри чизиқнинг буралиши
=(r'r"r"')/[r'r"] (3)
формула билан хисобланади.
Хақиқатан хам қуйидагиларни топа оламиз, яъни
r'_s=r't', r"_ss=r"t'²+r't"
r"'_sss=r"'t'³+2r"t't"+r"t't"+r't"'
Бу кийматларни (2) тенгликдаўрнига кўйиб, t'²=1/r'²эканиниэoтиборгаолсак, исбот килинишикеракбўлган (3) формуланиоламиз. Энди хар бирнуқтасидагибуралиши 0 гатенгбўлганчизиқларнитопайлик.
Маълумки, x='=0. Бундан ташкари '=0 ва '=0 эканидан '=0 ни топамиз. Бундан =₀=соnst экани келиб чикади.
Бизга маълумки  ва  векторлар ўзаро перпендикулярдир. Шунинг учун r'₀=0 бўлади. Демак, (r(s)-r₀)₀=0. Бу эса (r-r₀)₀=0 вектор тенглама билан берилган эгир чизиқни текисликда ётишини кўрсатади.
Шундай килиб, буралиш 0 га тенг бўлган барча эгри чизиқлар текис эгри чизиқлардан иборатдир.
Энди буралишнинг ишорасини топамиз. Эгри чизиқ бўйлаб ёпишма текислик s нинг ўсиш йўналишида харакатланганда уринма атрофида буралиши келиб чикади. Шунинг учун буралишни х=|x|кўринишда аниқлаймиз. Бунда агар буралиш  дан  га хараб ўзгарса ишора "+" ва агар буралиш  дан  га хараб ўзгарса ишора "-" олинади.
Хар бир нуқтасидаги буралиши ўзгармас бўлган чизиқларга мисол сифатида винт чизиғини келтириш мумкин.