Determinantlar, xossalari

Isboti.
Zarurligi. Faraz qilayliq A matrisa teskari A^-1 matrisaga ega bo’lsin, bu holda |A|0 ekanligini ko’rsataylik. Agar A matrisa teskari A^-1 matrisaga ega bo’lsa u holda AA^-1=E tenglik o’rinli, undan
|AA^-1|=|E| |A||A^-1|=|E|=1 |A| 0
Kifoyaligi. Qulaylik uchun uchinchi tartibli matrisa uchun ko’raylik.
A= , |A|0


bo’lsin. A^-1 ning mavjud ekanligini ko’rsataylik. Shunday B matrisa tuzaylikki uning har bir elementi A matrisaning xar bir mos elementlarining algebraik to’ldiruvchlarini shu A matrisa determinantiga bo’lishdan hosil bo’lsin.


B=


Endi B matrisaga transponirlangan matrisani tuzsak hosil bo’lgan matrisa A^-1 bo’ladi.
A^-1=B*=


Misol.
A= , A^-1= ? , |A|= =-9  0. A^-1=


Haqiqatan A^-1A=AA^-1=E tenglikni o’rinli ekanligini hisoblab ko’rish mumkin.
Matrisaning rangi va elementar almashtirishlar.


Bizga o’lchovli to’ğri to’rt burchakli
A=
matrisa berilgan bo’lsin.
1-ta’rif. A matrisaning k-tartibli minori deb, uning ta ustuni va
ta yo’li kesishishidan hosil bo’lgan o’lchovli kvadrat matrisaning determinantiga aytiladi (k=min(m,n)) o’lchovli matrisaning - tartibli minorlar soni bo’ladi.
2-ta’rif. Matrisaning rangi deb, uning noldan farqli bo’lgan minorlarining eng yuqori tartibiga aytiladi.
Agar matrisaning rangi bo’lsa , u holda bu matrisaning tartibli minoridan boshlab barcha yuqori tartibli minorlari nol bo’ladi.
Matrisaning rangiga quyidagicha ham ta’rif berish mumkin.