Determinantlar va ularning xossalari. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar

a₁₁ ,a₂₂ elementlar joylashgan diagonal determinantning bosh diagonali, a₂₁, a₁₂ elementlar joylashgan diagonal esa yordamchi diagonali deb ataladi.

Shunday qilib,

^a11 ^a12 ^a21 ^a22

determinant mos ravishda bosh va yordamchi diagonallarda turgan elementlarning ko’paytmalari ayirmasiga, ya’ni

«11^22 - «21^12 ga teng.

2. 
   
   8 —1 3 5
   
   1-misol.
   
   8 • 5 — 3 ■ (—1) = 40 + 3 = 43
   
   Uchinchi tartibli determinant. Uchinchi tartibli kvadrat matritsani, ya’ni 3x3 ta sondan iborat ushbu jadvalni qaraymiz:
   

^a11 ^a12 ^a13

^a21 ^a22 ^a23 J (4)

^a31 ^a32 ^a33

Bu matritsaning uchinchi tartibli determinant deb quyidagi

^A = ^11^22^a33 + ^a12^a23^a31 + ^a21^a32^a13 <sup>—

a</sup>31^a22^a13 ^{— a}12^a21^a33 ^{— a}23^a32^a11

Shunday qilib,

^a11 ^a12 ^a21 ^a22 ^a31 ^a32

Д
songa aytiladi. Uchinchi tartibli determinant bunday belgilanadi

a11	a12	a13
*21	^a22	^a23
*31	^a32	^a33

«13

^a23

^a33

+ ^a21^a32^a13 ^-a31 ^a22^a13 ^{— a}12^a21^a33 ^{— a}23^a32^a11

(5)

Uchinchi tartibli determinant uchun satr, ustun, bosh va yordamchi diagonallar tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi kiritiladi.

2. 
   misol. Ushbu uchinchi tartibli determinantni hisoblang:
   

12 3 0 1—1 2 4 6 —3 • 1 ■ 2 — 2-0-6 — 4" (—1) '1 = 0

3. 
   Determinantning xossalari. Bu xossalarni uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz.
   

1. 
   xossa. Determinantning satrlaridagi elementlari va ustunlaridagi elementlari o’rinlari alamshtirilganda uning qiymati o’zgarmaydi.
   

«11	«12	«13		«11	«21	«31
«21	«22	«23		«12	«22	«32
«31	«32	«33		«13	«23	«33

Bu xossani isbotlash uchun yuqoridagi determinantlarga (5) formulani tadbiq etish yetarli.

2. 
   xossa. Agar determinantning ikkita parallel satr (ustun) elementlarining o’rinlari almashtirilsa, uning ishorasi qarama-qarshi ishoraga almashadi. Masalan
   

«31	«32	«33		«11	«12	«13
«21	«22	«23		«21	«22	«23
«11	«12	«13		«31	«32	«33

Bu xossa ham oldingi xossa kabi isbotlanadi.

3. 
   xossa. Agar determinant ikkita bir xil elementli satr (ustun)ga ega bo’lsa, u nolga teng. Haqiqatan, ikkita parallel bir xil elementli qatorlarning o’rinlarini almashtirish bilan determinant o’zgarmaydi, biroq 2- xossaga asosan uning ishorasi o’zgaradi. Demak, A = —A,
   

2

4

4

3

5

5

7

6

6

ya’ni, 2A =0 yoki A =0. Masalan,

= 0

4. 
   xossa. Determinant biror satr (ustun)ning barcha elementlarini istalgan X songa ko’paytirish determinantni bu songa ko’paytirishga teng kuchlidir.
   

Xa11	a12	a13		ац	Л12	0-13
Xa21	^a22	^a23	= X	1 2	^a22	^a23
Xa31	^a32	^a33		&31	^a32	^a33

5. 
   xossa. Agar determinant nollardan iborat bo’lgan satr (ustun)ga ega bo’lsa, u nolga teng. Bu xossa oldingi xossadan A = 0 bo’lganda kelib chiqadi.
   
6. 
   
   0
   xossa. Agar determinant ikkita parallel proportsional satr (ustun)ga ega bo’lsa, u nolga teng.
   

	3	4	2		3	4	2
Misol.	6	8	4	= 2 ■	3	4	2
	7	3	5		7	3	5

7-xossa. Agar determinant biror satr (ustun)ining har bir elementi ikkita qo’shiluvchining yig’indisidan iborat bo’lsa





u holda bu determinant ikki determinant yig’indisidan iborat bo’ldi. Masalan,

^a11 + ^1 ^a12 ^a13 «21 + ^2 «22 «23 =

«31 + ^3 «32 «33

«11	«12	«13		&1	%2	«13
«21	«22	«23	+	&2	«22	«23
«31	«32	«33		&3	«32	«33

Bu xossa determinantga (5) formulani qo’llash bilan tekshiriladi.

8-xossa. Agar biror satr (ustun) elementlariga boshqa parallel satr (ustun)ning elementlarini istalgan umumiy ko’paytuvchiga ko’paytirib qo’shilsa, determinant o’zgarmaydi. Ya’ni